
\begin{enumerate}
\item L'arbre complété est le suivant:
 \begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node (M) at (2,2) {$M$};
\node (MB) at (2,-2) {$\overline{M}$};
\node (MT) at (6,3) {$T$};
\node (MTB) at (6,1) {$\overline{T}$};
\node (MBT) at (6,-1) {$T$};
\node (MBTB) at (6,-3) {$\overline{T}$};
%
\draw (0,0) -- (M.west) node[midway,fill=pagecorrige!30] {0,2};
\draw (0,0) -- (MB.west) node[midway,fill=pagecorrige!30] {0,8};
\draw (M.east) -- (MT.west) node[midway,fill=pagecorrige!30] {0,85};
\draw (M.east) -- (MTB.west) node[midway,fill=pagecorrige!30] {0,15};
\draw (MB.east) -- (MBT.west) node[midway,fill=pagecorrige!30] {0,05};
\draw (MB.east) -- (MBTB.west) node[midway,fill=pagecorrige!30] {0,95};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item $\begin{aligned}[t]
P(M \cap T) & = P(M) \times P_M(T)\\
P(M \cap T) & = 0,2 \times 0,85\\
\Aboxed{P(M \cap T) & = 0,17}
\end{aligned}$

\item $M$ et $\overline{M}$ forment une partition de l'univers (la population de la ville) donc d'après la formule des probabilités totales, on a:
\begin{align*}
P(T) & = P(M \cap T) + P(\overline{M} \cap T)\\
& = 0,17 + 0,8\times0,05\\
\Aboxed{P(T) & = 0,21}
\end{align*}

\item Dans cette question, on nous demande de calculer $P_T(M)$.
\begin{align*}
P_T(M) & = \dfrac{P(M \cap T)}{P(T)}\\
& = \dfrac{0,17}{0,21}\\
\Aboxed{P_T(M) =& \approx 0,81}
\end{align*}

$P_T(M) < 0,95$ par conséquent, le test n'est pas estimé efficace.

\item Notons $X$ la variable aléatoire représentant la recette de l'entreprise qui commercialise les tests, exprimée en euro.

Alors, $X = \{5 ; -5\}$. D'après les calculs précédents, la loi de probabilité de $X$ est:
\begin{itemize}
\item $P(X=5) = P(M \cap T) + P(\overline{M} \cap \overline{T}) = 0,17 + 0,76 = 0,93$;

\item $P(X=5) = P(M \cap \overline{T}) + P(\overline{M} \cap T) = 1-0,93 = 0,07$.
\end{itemize}

\begin{center}
\renewcommand{\arrayrulecolor}{black}
\begin{tabular}{|>{\columncolor{numpagecorrige!20}}Sl|Sc|Sc|}
\hline
$X$ & $-5$ & 5\\
\hline
$P(X)$ & 0,07 & 0,93\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
L'espérance mathématique de $X$ est alors:
\begin{align*}
E(X) &= -5 \times 0,07 + 5 \times 0,93\\
\Aboxed{E(X)&=4,3}
\end{align*}
\underline{La recette moyenne d'un test est donc égale à 4,3 \euro.}
\end{enumerate}
