Une maladie touche 20\% de la population d'une ville.

Lors d'un dépistage de la maladie, on utilise un test biologique vendu par une entreprise qui a les caractéristiques suivantes:
\begin{itemize}
\item lorsque la personne est malade, la probabilité d'avoir un test positif est 0,85;

\item lorsque la personne n'est pas malade, la probabilité d'avoir un test négatif est 0,95.
\end{itemize}

On choisit une personne au hasard dans cette population.

On note T l' événement \og la personne a un test positif à cette maladie \fg et M l'événement \og la personne est atteinte de cette maladie \fg.

\begin{enumerate}
\item Complétez l'arbre suivant.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node (M) at (2,2) {$M$};
\node (MB) at (2,-2) {$\overline{M}$};
\node (MT) at (6,3) {$T$};
\node (MTB) at (6,1) {$\overline{T}$};
\node (MBT) at (6,-1) {$T$};
\node (MBTB) at (6,-3) {$\overline{T}$};
\draw (0,0) -- (M.west);
\draw (0,0) -- (MB.west);
\draw (M.east) -- (MT.west);
\draw (M.east) -- (MTB.west);
\draw (MB.east) -- (MBT.west);
\draw (MB.east) -- (MBTB.west);
\end{tikzpicture}
\end{center}
\item Calculer $P(M \cap T)$.
\item Montrer que $P(T)=0,21$.
\item On appelle \textit{valeur prédictive positive} du test la probabilité qu'une personne soit malade sachant que le test est positif. On estime que ce test est efficace pour une population donnée lorsque cette probabilité est supérieure à 0,95.

Ce test est-il efficace sur la population étudiée?

\item Le test est vendu 5 \euro. Si le test ne correspond pas à l'état de la personne l'utilisant, il est intégralement remboursé; sinon, il ne l'est pas.

Calculer la recette moyenne d'un test pour l'entreprise le commercialisant.
\end{enumerate}

