
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item L'arbre représentant la situation est le suivant:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[yscale=0.75,xscale=2]
\node (R) at (2,2) {E};
\node (V) at (2,-2) {\evcont{E}};
\node (RG) at (4,3) {B};
\node (RGB) at (4,1) {\evcont{B}};
\node (VG) at (4,-1) {B};
\node (VGB) at (4,-3) {\evcont{B}};
\draw (0,0) -- (R.west) node[midway,fill=pagecorrige!30] {$0,45$};
\draw (0,0) -- (V.west) node[midway,fill=pagecorrige!30] {$0,55$};
\draw (R.east) -- (RG.west) node[midway,fill=pagecorrige!30] {$0,3$};
\draw (R.east) -- (RGB.west) node[midway,fill=pagecorrige!30] {$0,7$};
\draw (V.east) -- (VG.west) node[midway,fill=pagecorrige!30] {$0,2$};
\draw (V.east) -- (VGB.west) node[midway,fill=pagecorrige!30] {$0,8$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item $\begin{aligned}[t]
P(B) & = P(E\cap B) + P(\evcont{E}\cap B)\\
& = 0,45\times0,3 + 0,55\times0,2\\
\Aboxed{P(B) & = 0,245}
\end{aligned}$

\uline{La probabilité que le smartphone choisi ait une batterie défectueuse est égale à 0,245.}

\item $\begin{aligned}[t]
P_B(E) & =\dfrac{P(B \cap E)}{P(B)}\\
& = \dfrac{0,45\times0,3}{0,245}\\
\Aboxed{P_B(E)& \approx 0,551}
\end{aligned}$

\medskip

\uline{Sachant que le smartphone choisi a une batterie défectueuse, la probabilité qu'il ait un écran cassé est égale à environ 0,551.}
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item La loi de probabilité de $X$ est la suivante:

\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\columncolor{numpagecorrige!20}}Sr|*4{Sc|}}
\hline
$x_i$ &  20& 50& 60 & 90\\
\hline
$P(X = x_i)$ & $0,44$ & $0,315$ & $0,11$ & $0,135$ \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\newpage
Explications (non demandées): 
\begin{itemize}
\item $P(X=20) = P(\evcont{E}\cap\evcont{B})=0,55\times0,8=0,44$.
\item $P(X=50) = P(E \cap \evcont{B})=0,45 \times 0,7 = 0,315$.
\item $P(X=60) = P(\evcont{E}\cap B) = 0,55\times0,2=0,11$.
\item $P(X=90) = P(E \cap B) = 0,45\times0,3=0,135$.
\end{itemize}

\item L'espérance mathématique de $X$ est:
\[
E(X) = 20\times0,44+50\times0,315+60\times0,11+90\times0,135=43,3.
\]
Ainsi, en moyenne, l'entreprise dépense 43,30 \euro{} par smartphone. Donc, si elle reconditionne 500 smartphones, elle doit s'attendre à dépenser $500\times43,3$\euro{}, soit \numprint{21650}~\euro.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
