
\begin{enumerate}
\item La loi de probabilité de la v.a. X représentant le gain algébrique du jeu est :
\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\columncolor{numpagecorrige!10}\bfseries}Sr|Sc|Sc|}
\hline
X & $-10$ & 100\\
\hline
P(X) & $\dfrac{3}{4}$ & $2\times\left(\dfrac{1}{2}\right)^3=\dfrac{1}{4}$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

L'espérance de X est donc :
\[
\esp{X}=-10\times\dfrac{3}{4}+100\times\dfrac{1}{4}=17,5.
\]
Sa variance est :
\[
\var{X}=\dfrac{3}{4}(-10-17,5)^2+\dfrac{1}{4}(100-17,5)^2=\numprint{2268,75}
\]
Son écart-type est alors :
\[
\ectype{X}=\sqrt{\numprint{2268,75}}\approx47,63.
\]

\item On sait que $\esp{X+a}=\esp{X}+a$ donc ici, $\esp{X'}=17,5+5=22,5$.

De plus, $\var{X+a}=\var{X}$ et $\ectype{X+a}=\ectype{X}$ donc la variance et l'écart-type ne changent pas.

\item $\esp{aX}=a\esp{X}$ donc ici, $\esp{X''}=2\times17,5=35$.

De plus, $\ectype{aX}=a\ectype{X}$ donc $\ectype{X''}=2\times47,63=95,26$.
\end{enumerate}
