On considère la figure suivante, représentée dans un repère orthonormé \Rij.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\rep{-1}{-1}{5}{5}
\begin{scope}[scale=0.5,shift={(1.92,1.44)}]
\draw[thick,color=green!50!black,fill=green!80!black,fill opacity=0.1] (2.26,1.69) -- (2,2) -- (1.7,1.76) -- (1.92,1.44) -- cycle; 
\end{scope}
\draw[very thick] (0,0) rectangle +(4,4);
\node[above right] at (0,4) {C};
\node[above right] at (4,4) {B};
\node[below] at (4,0) {A};
\draw[dashed] (0,0) -- (4,3) node[right] {I};
\draw[very thick] (0,4) -- (1.92,1.44) node[below] {H};
\draw[very thick] (1.92,1.44) -- (4,3);
\draw[very thick,red] (2,2) circle (0.5);
\fill[black] (2,2) circle (2pt) node[above] {D};
\end{tikzpicture}
\end{center}
On dispose des données suivantes :
\begin{itemize}
\item Le quadrilatère $OABC$ est un carré de côté 4;
\item On a $A\coord{0}{4}$, $B\coord{4}{4}$, $C\coord{0}{4}$, $H\coord{4}{3}$;
\item Le point $H$ est le projeté orthogonal du point $C$ sur la droite $(OI)$;
\item On note $\mathcal{E}$ le cercle de centre $D\coord{2}{2}$ et de rayon 0,5.
\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Déterminer les coordonnées des vecteurs $\vv{OI}$ et $\vv{OC}$.
\item En déduire le produit scalaire $\prodscal{OI}{OC}$.
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item Exprimer le produit scalaire $\prodscal{OI}{OC}$ en fonction des longueurs $OH$ et $OI$.
\item Calculer la longueur $OI$.
\item En déduire que $OH=2,4$.
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item Déterminer une équation cartésienne de la droite $CG)$.
\item Justifier qu'une équation du cercle $\mathcal{E}$ est :
\[
x^2+y^2-4x-4y+7,75=0.
\]
\item Le point $M\coord{1,5}{2}$ appartient-il à l'intersection du cercle $\mathcal{E}$ et de la droite $(CH)$? Justifier.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\textbf{\textit{Aide aux calculs:}}
\begin{itemize}
\item $0,5^2=0,25$
\item $1,5^2=2,25$
\item $2,5^2=6,25$
\item $5\times2,4=12$
\end{itemize}

