On se place dans un repère \Rij{} orthogonal.
\begin{enumerate}
\item\label{sujet0-1-ex2-q1} On considère la fonction $g$ définie pour tout réel $x$ par $g(x)=x^2-5x+4$.

On note $\mathcal{P}$ la courbe représentative de la fonction $g$.
\begin{enumerate}
\item\label{sujet0-1-ex2-q1a} Étudier le signe de la fonction $g$ sur \R.
\item On considère un entier naturel $n$ quelconque.

On note $A_n$ le point de la courbe $\mathcal{P}$ d'abscisse $n$.

On note $a_n$ le coefficient directeur de la droite $(A_nA_{n+1})$.

Justifier que pour tout entier naturel $n$, on a $a_n=2n-4$.

\item Quelle est la nature de la suite \suite{a}{n}{}?
\end{enumerate}

\item\label{sujet0-1-ex2-q2} On considère la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ de l'intervalle \intervFF{0,5}{8} par:
\[
f(x)=x-5+\frac{4}{x}.
\]
On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$.
\begin{enumerate}
\item Vérifier que pour tout réel $x$ de l'intervalle \intervFF{0,5}{8} on a $f(x)=\dfrac{g(x)}{x}$.
\item\label{sujet0-1-ex2-q2b} À l'aide de la question \ref{sujet0-1-ex2-q1}\ref{sujet0-1-ex2-q1a}, déterminer la position de la courbe $\mathcal{C}$ par rapport à l'axe des abscisses.

\item On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle \intervFF{0,5}{8}.

Montrer que tout réel $x$ de l'intervalle \intervFF{0,5}{8} on a :
\[
f'(x)=\dfrac{(x-2)(x+2)}{x^2}.
\]

\item\label{sujet0-1-ex2-q2d} En déduire le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle \intervFF{0,5}{8}.

\item Réaliser un schéma de l'allure de la courbe $\mathcal{C}$ sur lequel apparaîtront les résultats des questions \ref{sujet0-1-ex2-q2}\ref{sujet0-1-ex2-q2b} et \ref{sujet0-1-ex2-q2}\ref{sujet0-1-ex2-q2d}
\end{enumerate}
\end{enumerate}

