
\begin{enumerate}
\item $u_1$ représente le nombre d'habitants de cette ville en 2021. Il est égal à:
\[
u_1= 1,08 \times u_ - 300 = 1,08 \times \numprint{10000} - 300 = \numprint{10500}.
\]

\item 
\begin{enumerate}
\item $v_0 = u_0 - \numprint{3750}= \numprint{10000}-\numprint{3750} = \numprint{6250}$.

\item $\begin{aligned}[t]
v_{n+1} & u_{n+1} - \numprint{3750}\\
        & = 1,08u_n - 300 - \numprint{3750}\\
        & = 1,08u_n - \numprint{4050}\\
        & = 1,08\left(u_n - \frac{\numprint{4050}}{1,08}\right)\\
        & = 1,08(u_n - \numprint{3750})\\
        & = 1,08v_n.
\end{aligned}$

\item $v_{n+1}=qv_n$ avec $q=1,08$ donc \suite{v}{n}{} est une suite géométrique de raison 1,08 et de premier terme $v_0=\numprint{6250}$.

\item On déduit de la question précédente que pour tout entier naturel $n$, 
\[
v_n=v_0 \times q^n = \numprint{6250} \times 1,08^n.
\]

\item On sait que $v_n=u_n-\numprint{3750}$ donc:
\[
u_n = v_n+\numprint{3750}=\numprint{6250} \times 1,08^n + \numprint{3750}.
\]
\end{enumerate}

\item On voit dans le tableur que $u_n \geqslant \numprint{19000}$ à partir de $n=12$, ce qui correspond à l'année $2020+12=2032$. Comme la construction dure 2 ans, il faut la commencer en 2030.
\end{enumerate}
