En 2020, une ville comptait \numprint{10000} habitants.

On modélise l'évolution du nombre d'habitants de cette ville par la suite \suite{u}{n}{} définie ainsi :
\[
\begin{cases}
u_{n+1} = 1,08u_n -300\quad,\quad n\in\N\\
u_0 = \numprint{10000}
\end{cases}
\]
où $u_n$ représente le nombre d'habitants pour l'année $2020+n$.
\begin{enumerate}
\item Indiquer ce que représente $u_1$ et calculer sa valeur.
\item On considère la suite \suite{v}{n}{} définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n=u_n-\numprint{3750}$.
\begin{enumerate}
\item Déterminer $v_0$.
\item Démontrer que pour tout entier naturel $n$, on a $v_{n+1}=1,08v_n$.
\item En déduire la nature de la suite \suite{v}{n}{}.
\item Pour tout entier naturel $n$, exprimer, $v_n$ en fonction de $n$.
\item Déduire que pour tout entier naturel $n$, on a $u_n=\numprint{6250}\times1,08^n+\numprint{3750}$.
\end{enumerate}
\item Le tableau ci-dessous, extrait d'une feuille automatisée de calcul, a été obtenue par recopie vers le bas après avoir saisie la formule suivante dans la cellule B2 :
\begin{center}
\texttt{= 6250*1,08\textasciicircum A2 + 3750}
\end{center}
\begin{minipage}{0.6\linewidth}
La municipalité envisage d'ouvrir une nouvelle école maternelle dès que la population atteindra \numprint{19000} habitants.

La construction d'un tel établissement nécessitant deux ans, déterminer l'année à partir de laquelle la construction de l'école doit commencer.

\bigskip

\textbf{\textit{Aide aux calculs:}}

\begin{itemize}
\item $\numprint{10000} - \numprint{3750} = \numprint{6250}$;
\item $1,08 \times \numprint{4050}=\numprint{4374}$;
\item $\dfrac{\numprint{4050}}{1,08}=\numprint{3750}$;
\item $\numprint{3750}\times 1,08=\numprint{4050}$.
\end{itemize}

\vspace*{5cm}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.33\linewidth}
\begin{tikzpicture}
  \tableur*[21]{A/1cm,B/3cm}
  \celtxt[align=center, font=\bfseries]{A}{1}{n}
  \celtxt[align=center, font=\bfseries]{B}{1}{Un}
  \foreach \n/\v in {%
  0/10000,
  1/10500,
  2/11040,
  3/{11623,2},
  4/{12253,056},
  5/{12933,30048},
  6/{13667,96452},
  7/{14461,40168},
  8/{15318,31381},
  9/{16243,77892},
  10/{17243,28123},
  11/{18322,74373},
  12/{19488,56323},
  13/{20747,64829},
  14/{22107,46015},
  15/{23576,05696},
  16/{25162,14152},
  17/{26875,11284},
  18/{28725,12187},
  19/{30723,13162}
  }
  {
  \pgfmathtruncatemacro{\resultline}{\n + 2}
  \celtxt[align=center]{A}{\resultline}{\n}
  \celtxt[align=center,width=3cm]{B}{\resultline}{\v}
  }
\end{tikzpicture}
\end{minipage}
\end{enumerate}

