Le plan est muni d’un repère orthogonal.

\medskip

\partie{A}

On considère la fonction $P$ définie sur l’intervalle \intervFF{-5}{3} par :
\[
P(x)=2x^2+x-10.
\]
\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Déterminer les racines de $P$.
\item En déduire l’axe de symétrie de la parabole d’équation $y=P(x)$.
\end{enumerate}

\item \'Etablir le tableau de signe de la fonction $P$ sur l’intervalle \intervFF{-5}{3}.
\end{enumerate}

\partie{B}

On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur l’intervalle \intervFF{-5}{3} dont on donne ci-dessous la courbe représentative $\mathcal{C}_f$.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node [inner sep = 0pt , outer sep = 0pt, fill=white] (tab) {
\begin{tikzpicture}[yscale=0.2, xscale=1.5]
\draw[dashed,gray] (-5.5,-15) grid[xstep=0.5, ystep=5] (3.5,25);
\draw[->,>=latex,thick] (-5.5,0) -- (3.5,0);
\draw[->,>=latex,thick] (0,-15) -- (0,25);
\foreach\x in {-5,-4.5,-4,...,3}
{
\draw[thick] (\x,0.75) -- (\x,-0.75) node[below, outer ysep=2mm] {\small $\x$};
}
\foreach\y in {-10,-5,5,10,15,20}
{
\draw[thick] (0.1,\y) -- (-0.1,\y) node[left, outer xsep=2mm] {\small $\y$};
}
\node[red] at (-4.7,18) {$\mathcal{C}_f$};
\draw[thick,red, domain=-5:3, smooth] plot (\x,{(4*\x*\x-14*\x+8)*exp(\x/2)});
\draw[blue,thick] (-5.5,-10.87) node[above right, outer sep=2mm] {$(T)$} -- (3.5,-10.87);
\fill[blue] (2,-10.87) circle (1pt) node[below, outer ysep=2mm] {$A$};
\end{tikzpicture}};
\drawshadow{tab}{black}
\end{tikzpicture}
\end{center}
La tangente $(T)$ à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point $A$ d’abscisse 2 est horizontale.
\begin{enumerate}
\item Donner la valeur du nombre dérivé $f'(2)$.
\item Résoudre, avec la précision permise par le graphique, l’inéquation $f'(x)<0$.
\item On sait que la fonction $f$ a pour expression sur l’intervalle \intervFF{-5}{3}:
\[
f(x)=(4x^2-14x+8)\e^{0,5x}.
\]
Démontrer que, pour tout $x$ appartenant à l’intervalle \intervFF{-5}{3}, on a:
\[
f'(x)=P(x)\e^{0,5x}.
\]
\item En utilisant les résultats de la partie A, dresser le tableau de variation de la fonction $f$ sur l’intervalle \intervFF{-5}{3}. (Il n’est pas demandé de calculer les images).
\end{enumerate}

