
On souhaite démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $1\leqslant u_n \leqslant 2$.

\begin{itemize}
\item \textbf{Initialisation}.

$u_0=2$ donc $1 \leqslant u_0 \leqslant 2$. La propriété est donc vraie pour $n=0$.

\item \textbf{Hérédité}.

Supposons que pour un entier $k$ fixé, $1\leqslant u_k \leqslant 2$.

Alors,on a:
\begin{align*}
1\leqslant u_k \leqslant 2 & \Rightarrow 1+1\leqslant 1+u_k \leqslant 1+2\\
& \Rightarrow 2 \leqslant 1+u_k \leqslant 3\\
& \Rightarrow \sqrt2 \leqslant \sqrt{1+u_k} \leqslant \sqrt3\\
& \Rightarrow {\color{red} 1 \leqslant} \sqrt{2} \leqslant u_{k+1} \leqslant \sqrt{3}\ {\color{red} \leqslant 2}
\end{align*}
L'hérédité est alors vérifiée.

\item \textbf{Conclusion.}

La propriété est vraie pour $n=0$ et elle est héréditaire donc, d'après le principe de récurrence, $1\leqslant u_n \leqslant 2$ pour tout entier naturel $n$.
\end{itemize}
