
Pour tout entier naturel $n\neq0$, on a :
\[
-1 \leqslant \cos(n) \leqslant 1.
\]
Ainsi,
\begin{align*}
& n-1 \leqslant n+\cos(n)\leqslant n+1\\[6pt]
\iff & \frac{n-1}{n^2}\leqslant\frac{n+\cos(n)}{n^2}\leqslant\frac{n+1}{n^2}
\end{align*}
De plus,
\[
\lim_{n\to+\infty}\left( \frac{n-1}{n^2} \right) =\lim_{n\to+\infty}\left( \frac{n\left(1-\frac{1}{n} \right)}{n^2}\right) = \lim_{n\to+\infty}\left( \frac{1-\frac{1}{n}}{n} \right) =0.
\]
De même,
\[
\lim_{n\to+\infty}\left(\frac{n+1}{n^2}\right)=0.
\]
Les limites des bornes étant finies et communes, d'après le théorème des gendarmes,
\[
\boxed{\lim_{n\to+\infty} u_n=0}
\]
