
\begin{enumerate}
\item Posons $\mathcal{P}(n):4 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 20.$

Démontrons par récurrence que $\mathcal{P}(n)$ est vraie pour tout entier naturel $n$.
\begin{itemize}
\item \textbf{Initialisation.}

$u_1=\dfrac{1}{4}u_0+12=1+12=13$.

On a alors: $4 \leqslant u_0 \leqslant u_{1} \leqslant 20$.

Ainsi, $\mathcal{P}(0)$ est vraie.

\item \textbf{Hérédité.}

Supposons que pour un entier $k$ fixé, $\mathcal{P}(k)$ est vraie.

Montrons alors que $\mathcal{P}(k+1)$ est aussi vraie.
\begin{align*}
\mathcal{P}(k)\text{ vraie} & \Rightarrow 4 \leqslant u_k \leqslant u_{k+1} \leqslant 20\\
& \Rightarrow \frac{1}{4}\times 4 \leqslant \frac{1}{4} u_k \leqslant \frac{1}{4}\times u_{k+1} \leqslant \frac{1}{4}\times 20\\
& \Rightarrow 1+12 \leqslant \frac{1}{4} u_k+12 \leqslant \frac{1}{4} u_{k+1}+12 \leqslant 5+12\\
& \Rightarrow 13 \leqslant u_{k+1} \leqslant u_{k+2} \leqslant 17\\
& \Rightarrow {\color{red}4 \leqslant} 13 \leqslant u_{k+1} \leqslant u_{k+2} \leqslant 17 {\color{red} \leqslant 20}\\
& \Rightarrow \mathcal{P}(k+1)\text{ vraie}.
\end{align*}

\item \textbf{Conclusion.}

$\mathcal{P}(0)$ est vraie et $\mathcal{P}(k) \text{ vraie }\Rightarrow\mathcal{P}(k+1) \text{ vraie }$ donc, d'après le principe de récurrence, $\mathcal{P}(n)$ est vraie pour tout entier naturel $n$, à savoir que:
\[
\forall n\in\N,\qquad 4 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 20.
\]
\end{itemize}

\item D'après la question précédente, \suite{u}{n}{} est croissante et majorée (par 20) donc, d'après le théorème de convergence des suites monotones, \suite{u}{n}{} converge.

\item
\begin{enumerate}
\item $v_0=u_0-16=4-16=-12$.
\item Pour tout entier naturel $n$,
$\begin{aligned}[t]
v_{n+1} & = u_{n+1}-16\\
& = \frac{1}{4}u_n+12-16\\
& = \frac{1}{4}u_n-4\\
& = \frac{1}{4}\left(u_n - \frac{4}{\tfrac{1}{4}}\right)\\
& = \frac{1}{4}(u_n-16)\\
& = \frac{1}{4}v_n.
\end{aligned}$

Ainsi, \suite{v}{n}{} est une suite géométrique de raison $q=\frac{1}{4}$.

\item On déduit de la question précédente que:
\[
v_n = v_0 \times q^n = -12 \times \left(\frac{1}{4}\right)^n
\]
et que:
\[
u_n = v_n+16 = 16-12\times\left(\frac{1}{4}\right)^n.
\]

\item $0 < \frac{1}{4} < 1$ donc $\limite{n}{+\infty}{\left(\frac{1}{4}\right)^n}=0$.

Ainsi, $\limite{n}{+\infty}{u_n}=16$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
