
\begin{enumerate}
\item $\begin{aligned}[t]
\dfrac{-9^n+3^n}{7^n} & = \dfrac{9^n\left(-1+\dfrac{3^n}{9^n}\right)}{7^n}\\
& = \left(\dfrac{9}{7}\right)^n \times \left( -1 + \left(\dfrac{3}{9}\right)^n \right)\\
& = \left(\dfrac{9}{7}\right)^n \times \left( -1 + \left(\dfrac{1}{3}\right)^n \right).
\end{aligned}$

Or,
\begin{itemize}
\item $\dfrac{9}{7}>1$ donc $\limite{n}{+\infty}{\left(\dfrac{9}{7}\right)^n}=+\infty$;
\item $0<\dfrac{1}{3}<1$ donc $\limite{n}{+\infty}{\left(\dfrac{1}{3}\right)^n}=0$.
\end{itemize}
Ainsi, par somme et produit de limites, $\limite{n}{+\infty}{\left( \dfrac{-9^n+3^n}{7^n}  \right)} = -\infty$.

Or, $u_n \leqslant \dfrac{-9^n+3^n}{7^n}$ donc, d'après le théorème de majoration, $\limite{n}{+\infty}{(u_n)}=-\infty$.

\medskip

\textbf{L'affirmation est donc vraie.}

\bigskip

\item La variable \texttt{i} prend ses valeurs entre 0 et 3 inclus. Donc l'instruction \texttt{U = U+i} donnera:
\begin{itemize}
\item Avant d'entrer dans la boucle, $U=1$;
\item Pour $i=0$, $U=U+i=1+0=1$;
\item Pour $i=1$, $U=U+i=1+1=2$;
\item Pour $i=2$, $U=2+i=2+2=4$;
\item Pour $i=3$, $U=4+i=4+3=7$.
\end{itemize}

\textbf{L'affirmation est donc vraie.}

\bigskip

\item $\begin{aligned}[t]
\dfrac{3n^2+4n+7}{6n^2+1} & = \dfrac{n^2\left(3+\dfrac{4}{n}+\dfrac{7}{n^2}\right)}{n^2\left( 6 + \dfrac{1}{n^2}\right)}\\
& = \dfrac{3+\dfrac{4}{n}+\dfrac{7}{n^2}}{6 + \dfrac{1}{n^2}}.
\end{aligned}$

Or, pour tout entier naturel $k>0$, $\limite{n}{+\infty}{\left(\dfrac{1}{n^k}\right)}=0$ donc $\limite{n}{+\infty}{\left( \dfrac{3+\dfrac{4}{n}+\dfrac{7}{n^2}}{6 + \dfrac{1}{n^2}} \right)}=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}$.

De plus, $\dfrac{1}{2} < u_n \leqslant \dfrac{3n^2+4n+7}{6n^2+1}$ donc, d'après le théorème des gendarmes, $\limite{n}{+\infty}{(u_n)}=\dfrac{1}{2}$.

\medskip

\textbf{L'affirmation est donc vraie.}

\bigskip

\item
\begin{enumerate}
\item Posons $u_n=-1-\dfrac{1}{n}$, $v_n=(-1)^n$ et $w_n=1+\dfrac{1}{n}$.

Alors,
\begin{itemize}
\item pour tout entier naturel $n$, $u_n \leqslant v_n \leqslant w_n$,
\item $\limite{n}{+\infty}{(u_n)}=-1$,
\item  $\limite{n}{+\infty}{(w_n)}=1$.
\end{itemize}
Cependant, $(v_n)$ n'a pas de limite.

\medskip

\textbf{L'affirmation est donc fausse.}

\bigskip

\item $(u_n)$ est croissante donc, pour tout entier naturel $n$, $u_0 \leqslant u_n$.

$(w_n)$ est décroissante donc, pour tout entier naturel $n$, $w_n \leqslant w_0$.

On a alors:
\[
u_0 \leqslant u_n \leqslant v_n \leqslant w_n \leqslant w_0.
\]
\textbf{L'affirmation est donc vraie.}
\end{enumerate}

\item $\begin{aligned}[t]
3n-4 \leqslant S_n \leqslant 3n+4 & \iff \dfrac{3n-4}{n} \leqslant \dfrac{S_n}{n} \leqslant \dfrac{3n+4}{n}\\
& \iff 3 - \dfrac{4}{n} \leqslant u_n \leqslant 3+\dfrac{4}{n}.
\end{aligned}$

Or, $\limite{n}{+\infty}{\dfrac{4}{n}}=0$ donc $u_n$ est encadré par deux termes de limite égale à 3.

Ainsi, d'après le théorème des gendarmes, $(u_n)$ converge vers 3.

\medskip

\textbf{L'affirmation est donc vraie.}
\end{enumerate}
