
\begin{enumerate}
\item Le calcul des 2 ou 3 premiers termes de la suite laisse à penser que l'affirmation est vraie. On peut alors tenter de démontrer cela par récurrence.
\begin{itemize}
\item \textbf{Initialisation.}

Pour $n=1$, $\dfrac{n+1}{n}=2=u_1$ donc l'égalité est vraie.

\item \textbf{Hérédité.}

Supposons que pour un entier $k\geqslant1$ fixé, $v_k=\dfrac{k+1}{k}$.

Alors, d'après la relation de récurrence de $(v_n)$,
\begin{align*}
v_{k+1} & = 2-\dfrac{1}{v_k}\\
& = 2-\dfrac{k}{k+1}\\
& = \dfrac{2(k+1)-k}{k+1}\\
& = \dfrac{k+2}{k+1}\\
& = \dfrac{(k+1)+1}{(k+1)}.
\end{align*}
L'hérédité est alors vérifiée.

\item \textbf{Conclusion.}

L'égalité est vraie pour tout entier naturel $n$, et donc \textbf{l'affirmation est vraie.}
\end{itemize}

\newpage

\item Le programme renvoie la première valeur de $n$ pour laquelle le terme $u_n$ la suite définie par:
\[
\begin{cases}
u_0=7\\
u_{n+1}=1,05u_n+3
\end{cases}
\]
est supérieur ou égal à 100.

On peut utiliser le tableur de la calculatrice pour calculer les premiers termes de cette suite et regarder le premier indice pour lequel $u_n\geqslant100$. Ce tableau de valeurs donne:
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|}
\hline \rowcolor{corrigenumbg}
\color{white}$n$ & \color{white}$u_n$\\ \hline
1 & 10.350000000000001 \\ \hline
2 & 13.867500000000001 \\ \hline
3 & 17.560875000000003 \\ \hline
4 & 21.438918750000003 \\ \hline
5 & 25.510864687500003 \\ \hline
6 & 29.786407921875004 \\ \hline
7 & 34.275728317968756 \\ \hline
8 & 38.989514733867196 \\ \hline
9 & 43.938990470560555 \\ \hline
10 & 49.13593999408858 \\ \hline
11 & 54.59273699379301 \\ \hline
12 & 60.322373843482666 \\ \hline
13 & 66.3384925356568 \\ \hline
14 & 72.65541716243965 \\ \hline
15 & 79.28818802056163 \\ \hline
16 & 86.25259742158971 \\ \hline
17 & 93.5652272926692 \\ \hline
18 & 101.24348865730268 \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
On voit alors que le premier terme tel que $u_n \geqslant100$ est $u_{18}$.

\textbf{L'affirmation est donc vraie.}

\bigskip

\item Posons $(P_n)$ : $0 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_n$.

Montrons qu'elle est vraie pour $n\in\N$ par récurrence.

\begin{itemize}
\item \textbf{Initialisation.}

$u_0=10$ et $u_1=\dfrac{1}{3}\times10+2=\dfrac{16}{3}\approx5,33$.

Alors, $0 \leqslant u_1 \leqslant u_0$. $(P_0)$ est alors vraie.

\item \textbf{Hérédité.}

Supposons que pour un entier $k\geqslant0$ fixé, $0 \leqslant u_{k+1} \leqslant u_k$. Alors,
\begin{align*}
0 \leqslant u_{k+1} \leqslant u_k & \Longrightarrow 0 \leqslant \dfrac{1}{3} u_{k+1} \leqslant \dfrac{1}{3} u_k\quad\text{car }\dfrac{1}{3}>0\\
& \Longrightarrow 0 \leqslant \dfrac{1}{3} u_{k+1}+2 \leqslant \dfrac{1}{3} u_k+2\\
& \Longrightarrow 0 \leqslant u_{k+2} \leqslant u_{k+1}.
\end{align*}
L'hérédité est alors vérifiée.

\item \textbf{Conclusion.}

$(P_0)$ est vraie et la propriété est héréditaire donc, d'après le principe de récurrence, $(P_n)$ est vraie pour tout entier naturel $n$.
\end{itemize}

\textbf{L'affirmation est donc vraie.}
\end{enumerate}

