
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item \raisebox{-3mm}{$\left.
\begin{array}{l}
\lim\limits_{x \to 1} \left( \e^{x} \right) = \e^1 = \e >0\\
\lim\limits_{x \to 1} (x - 1) = 0^-\text{ car }x<1\iff x-1<0.
\end{array}
\right\}\Rightarrow\text{(par quotient des limites) }\boxed{\lim\limits_{x \to 1} f(x) = -\infty}$.}

\item On en déduit que la courbe $ \mathcal{C} $ admet une asymptote verticale, d'équation $x = 1$.
\end{enumerate}

\item \raisebox{-3mm}{$\left.
\begin{array}{l}
\lim\limits_{x \to -\infty} \left( \e^{x} \right) = 0\\
\lim\limits_{x \to -\infty} (x - 1) = -\infty.
\end{array}
\right\}\Rightarrow\text{(par quotient des limites) }\boxed{\lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = 0}$.}

\medskip

On en déduit que $ \mathcal{C} $ admet également une asymptote, d'équation $y = 0$, au voisinage de $ -\infty$.

\item
\begin{enumerate}
\item $f$ est dérivable sur \intervOO{-\infty}{1}, en tant que quotient de fonctions définies et dérivables sur cet intervalle, avec la fonction au dénominateur ne s'annulant pas sur l'intervalle.
\begin{align*}
\forall x \in \intervOO{-\infty}{1}, \quad f'(x)
& = \dfrac{\e^x \times (x - 1) - \e^x \times 1}{(x-1)^2 }\\
&= \dfrac{\e^x \times (x - 1 - 1)}{(x-1)^2}\\
\Aboxed{f'(x) &= \dfrac{(x - 2)\e^x}{(x - 1)^2}}
\end{align*}

\item $\forall x\in \intervOO{-\infty}{1}$, $\e^x>0$ et $(x-1)^2>0$ donc $f'(x)$ est du signe de $(x-2)$.
\[
x - 2 \geqslant 0 \iff x \geqslant 2,
\]
d'où le tableau suivant:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node[inner sep = 0pt, outer sep = 0pt] (tab) {
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[color,colorL=exercicenumbg!10,colorC=exercicenumbg!10,colorV=exercicenumbg!10,lgt=3]{$x$/0.5,$f'(x)$/0.5,$f$/1}{$-\infty$,$1$}
\tkzTabLine{,-,d}
\tkzTabVar{+/0,-D+/$-\infty$/}
\end{tikzpicture}};
\drawshadow{tab}{black}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item Pour étudier la convexité de la fonction $f$ sur l'intervalle \intervOO{-\infty}{1}, on va étudier le signe de $f''(x)$.

$\forall x \in \intervOO{-\infty}{1},\quad (x - 1) < 0 \iff (x - 1)^3 < 0$.

De plus, $\e^{x} > 0$. On en déduit que le signe de $f''(x)$ est l'opposé du signe du trinôme : $x^2 - 4x + 5$, de discriminant:
\[
\Delta = (-4)^2 - 4 \times 1 \times 5 = -4< 0,
\]
donc n'admettant pas de racine, ce qui signifie qu'il est strictement positif (car le coefficient dominant est positif) pour tout réel $x$.


Ainsi, $f''(x)<0$, et donc $f$ est concave sur \intervOO{-\infty}{1}.

\item Pour déterminer l'équation de $T$, il nous faut connaître $f'(0)$ et $f(0)$ :

\begin{itemize}
\item $f'(0) = \dfrac{(0 - 2)\e^{0}}{(0 - 1)^2} = \dfrac{-2}{1} = -2$;
\item $f(0) = \dfrac{\e^0}{0 - 1} = \dfrac{1}{-1} = -1$.
\end{itemize}

La formule classique donne une équation pour $T$ :
\[
y = f'(0)(x - 0) + f(0) \iff y = - 2x - 1.
\]
L'équation réduite de $T$ est donc : $y = - 2x - 1$.

\item $f$ est concave sur \intervOO{-\infty}{1} donc la courbe $\mathcal{C}$ est \textit{sous} ses tangentes, notamment sous la tangente $T$.

On en déduit donc:
\begin{align*}
x \in \intervOO{-\infty}{1} &\implies f(x) \leqslant -2x -1\\
		&\implies \dfrac{\e^x}{x - 1}\leqslant - 2x - 1\\
		&\implies \e^x \geqslant (x -1)(-2x-1) \qquad \text{car sur }]-\infty ~;~ 1[,\quad x - 1 <0\\
		&\implies \e^x \geqslant (-2x - 1)(x - 1).
\end{align*}
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item La fonction $f$ est, sur $]-\infty~;~1[$  :
\begin{itemize}
\item continue (car dérivable);
\item strictement décroissante (d'après la question 3. b.);
\item $\lim\limits_{x\to -\infty} f(x) = 0$, $\lim\limits_{x\to1} f(x) = -\infty$ et $-2\in\intervOO{-\infty}{0}$.
\end{itemize}
Ainsi, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $f(x) = -2$ admet une unique solution $\alpha$ sur l'intervalle  $]-\infty~;~1[$.

\item $f(0) = -1$ d'après la question 4.b. On sait donc que la solution sera à chercher dans l'intervalle \intervOO{0}{1}.

À l'aide de la calculatrice, on trouve:
\begin{itemize}
\item $f(0,31) \approx -1,98 > -2$;
\item $f(0,32) \approx-2,03 < -2$.
\end{itemize}
Un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-2}$ est $0,31 < \alpha < 0,32$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

