
\begin{enumerate}
\item On a d'une part:
\[
f(0)=\dfrac{800}{1+15 \e^{0}} = \dfrac{800}{16}=50,
\]	
D'autre part:
\begin{itemize}
\item $0,05f(x)= \dfrac{0,05\times 800}{1+15\e^{-0,05x}} = \dfrac{40}{1+15\e^{-0,05x}}$\\[1mm]

\item $\numprint{0,00125} f(x) = \dfrac{\numprint{0,00125}\times 800}{1+15\e^{-0,05x}}= \dfrac{1}{1+15\e^{-0,05x}}$\\[1mm]

\item $1- \numprint{0,00125} f(x) = 1- \dfrac{1}{1+15\e^{-0,05x}}= \dfrac{1+15\e^{-0,05x}-1}{1+15 \e^{-0,05x}} = \dfrac{15 \e^{-0,05x}}{1+15 \e^{-0,05x}}$ \\[1mm]

\item
$\aligned[t]
0,05f(x) \left (1- \numprint{0,00125} f(x)  \right )
& = \dfrac{40}{1+15\e^{-0,05x}} \times \dfrac{15 \e^{-0,05x}}{1+15 \e^{-0,05x}}
= \dfrac{40\times 15 \e^{-0,05x}}{\left (1+15 \e^{-0,05x}\right )^2} \\
& = \dfrac{600 \e^{-0,05x}}{\left (1+15 \e^{-0,05x}\right )^2}
= f'(x) \text{ (d'après le logiciel de calcul formel)}.
\endaligned$
\end{itemize}


\item Avec ce nouveau modèle $f$,  l'effectif de cette population en 2050 peut être estimé à $f(50)$ soit environ 358.


\item \raisebox{-3mm}{$\left.\begin{array}{l}
\limite{x}{+\infty}{(-0,05x)}= -\infty\\
\limite{X}{-\infty}{\left(\e^{X}\right)}=0
\end{array}\right\} \Rightarrow \limite{x}{+\infty}{\left(\e^{-0,05x}\right)} = 0$.}

\medskip

On en déduit  que:
\[
\limite{x}{+\infty}{\big(1+15\e^{-0,05x}\big)} = 1
\]
et que
\[
\limite{x}{+\infty}{\left( \dfrac{800}{1+15\e^{-0,05x}} \right)} = 800.
\]
Donc $\limite{x}{+\infty}{f(x)}=800$, ce qui prouve que la courbe $\mathcal{C}$ admet la droite d'équation $y=800$ comme asymptote horizontale en $+\infty$.
		
\item Sur $[0 ~;~+\infty[$,  $f'(x)=\dfrac{600 \e^{-0,05 x}}{\left(1+15 \e^{-0,05 x}\right)^{2}}$.

Or, pour tout réel $X$, on sait que $\e^{X}>0$, donc $\e^{-0,05x}>0$ pour tout $x$.

$\left (1+15\e^{-0,05x}\right )^2>0$ donc $f'(x)>0$.

On en conclut que la fonction $f$ est croissante sur $[0 ~;~+\infty[$.

\item On résout l'inéquation $15 \e^{-0,05 x}-1 \geqslant 0$.
\begin{align*}
15 \e^{-0,05 x}-1 \geqslant 0 & \iff 15 \e^{-0,05 x} \geqslant 1\\
 & \iff  \e^{-0,05 x} \geqslant \dfrac{1}{15}\\
 & \iff  -0,05 x \geqslant \ln\left (\dfrac{1}{15}\right )\\
 & \iff  x \leqslant \dfrac{ \ln\left (\frac{1}{15}\right )}{-0,05}\\
 & \iff  x \leqslant \dfrac{ -\ln\left (15 \right )}{-0,05}\\
 & \iff  x \leqslant 20\,\ln\left (15 \right ).
\end{align*}

\item On admet que la vitesse de croissance de la population de cette espèce, exprimée en nombre d'individus par an, est modélisée par la fonction $f'$.

\begin{enumerate}
\item Pour étudier la convexité de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0 ~;~ +\infty[$, on détermine le signe de la dérivée seconde $f''(x)$.

D'après le tableau: $f''(x)=\dfrac{30 \e^{-0,05 x}}{\left(1+15 \e^{-0,05 x}\right)^{3}}\left(15 \e^{-0,05 x}-1\right)$.

D'après ce qui a été vu précédemment, $f''(x)$ est du signe de $\left(15 \e^{-0,05 x}-1\right)$.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node[inner sep = 0pt, outer sep = 0pt] (tab) {
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[color,colorL=exercicenumbg!10,colorC=exercicenumbg!10,colorV=exercicenumbg!10,lgt=3]{$x$/0.5,$f''(x)$/0.5}{$0$,$20\ln(15)$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,}
\end{tikzpicture}};
\drawshadow{tab}{black}
\end{tikzpicture}
\end{center}
Ainsi,
\begin{itemize}
\item $f$ est \textit{convexe} sur \intervOO{0}{20\ln(15)};
\item $f$ est \textit{concave} sur \intervOO{20\ln(15)}{+\infty};
\item En $x=20\,\ln(15)$, $f''(x)$ s'annule et change de signe, donc la courbe $\mathcal{C}$ admet un point d'inflexion.
\end{itemize}
Si $x=20\,\ln(15)$, $15\e^{-0,05x}-1=0$ donc $15\e^{-0,05\times 20\ln(15)}=1$

$f\left (20\ln(15)\right )
= \dfrac{800}{1+ 15\e^{-0,05\times 20\ln(15)}}
= \dfrac{800}{1+1} = 400$.

Donc le point de coordonnées $\coord{20\ln(15)}{400}$ est le seul point d'inflexion de la courbe $\mathcal{C}$.

\item La direction de la réserve affirme :

\og Au vu de ce modèle, la vitesse de croissance de la population de cette espèce va augmenter pendant un peu plus de cinquante ans, puis va diminuer \fg{}.
			
\medskip

On établit le tableau de variations de la fonction $f'$ qui modélise  la vitesse de croissance de la population de cette espèce, exprimée en nombre d'individus par an.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node[inner sep = 0pt, outer sep = 0pt] (tab) {
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[color,colorL=exercicenumbg!10,colorC=exercicenumbg!10,colorV=exercicenumbg!10,lgt=3]{$x$/0.5,$f''(x)$/0.5,$f'$/1}{$0$,$20\ln(15)$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,}
\tkzTabVar{-/,+/,-/}
\end{tikzpicture}};
\drawshadow{tab}{black}
\end{tikzpicture}
\end{center}
Or $20\,\ln(15) \approx 54,2$ donc la direction a raison.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
