
\begin{enumerate}
\item Il y a 4 façons de répondre pour chacune des 20 questions. C'est un 20-uplet sur un ensemble à 4 éléments (les 4 propositions).

\underline{Donc il y a $4^{20}=\numprint{1099511627776}$ façons de répondre à ce QCM.}

\item Dans cette question, il ne doit y avoir que 5 bonnes réponses; celles-ci peuvent être en n'importe quelles positions parmi les 20 questions. Il y a donc $\dbinom{20}{5}$ possibilités pour ces 5 réponses correctes.

Les 15 autres questions doivent être fausses; il y a donc 3 choix possibles pour chacune des 15 questions restantes, soit $3^{15}$ possibilités.


D'après le principe multiplicatif, il y a alors $\dbinom{20}{5}\times3^{15}$ façons de répondre pour avoir 5 bonnes réponses.

\newpage

\item D'après ce que nous avons dit à la question précédente, il y a $\dbinom{20}{k}\times 3^{20-k}$ façons de répondre pour avoir $k$ bonnes réponses.

D'après le principe additif, le nombre de façons de répondre afin d'avoir au moins 10 bonnes réponses est égal à:
\[
\sum_{k=10}^{20} \dbinom{20}{k}\times 3^{20-k} = \numprint{15244087642}.
\]

\item La probabilité d'avoir au moins 10 bonnes réponses en répondant au hasard à chacune des questions de ce QCM est donc égale à :
\[
\dfrac{\numprint{15244087642}}{\numprint{1099511627776}}\approx0,014.
\]
\end{enumerate}
