
Notons $u_k$ le nombre de boules dans l'urne $k$, $1\leqslant k \leqslant n$.

Décidons alors de représenter les situations possibles par le mot:
\[
\underbrace{B\ldots B}_{u_1\text{ lettres }B}S\underbrace{B\ldots B}_{u_2\text{ lettres }B}S\cdots S\underbrace{B\ldots B}_{u_n\text{ lettres }B}
\]
La lettre \og B \fg{} désigne une boule et \og S \fg{} désigne une séparation entre les urnes pour bien les distinguer.

On code les répartitions par un mot de longueur  $p+n-1$ contenant :
\begin{itemize}
\item $p$ lettres \og $B$ \fg;
\item $n-1$ lettres \og $S$ \fg.
\end{itemize}
La réponse est donc:
\[
\dbinom{n+p-1}{p}=\dbinom{n+p-1}{n-1}=\dfrac{\fact{(n+p-1)}}{\fact{p}\fact{(p-1)}}.
\]
