
D'après la formule du binôme de Newton:
\[
(x+1)^{2n} = \sum_{k=0}^{2n} \dbinom{2n}{k}x^k.
\]
Ainsi, le coefficient de degré $n$ du développement de $(x+1)^{2n}$ est égal à $\dbinom{2n}{n}$.

\medskip

Nous pouvons aussi écrire:
\[
(x+1)^{2n} = \big((x+1)^n\big)^2 = \left( \sum_{k=0}^{n} \dbinom{n}{k}x^k \right)^2.
\]
Ainsi, le coefficient de degré $n$ du développement de $(x+1)^{2n}$ est égal à $\displaystyle\sum_{k=0}^n\dbinom{n}{k}\dbinom{n}{n-k}$.

Or, $\dbinom{n}{n-k}=\dbinom{n}{k}$.

Donc ce coefficient vaut finalement  $\displaystyle\sum_{k=0}^n\dbinom{n}{k}^2$.

\medskip

D'où l'égalité demandée.

\begin{rem}
Par un raisonnement analogue, on peut aussi montrer l'égalité suivante:
\[
\forall n\in\N,\quad\sum_{k=0}^{n} \dbinom{n}{k}\dbinom{2n}{k} = \dbinom{3n}{n}.
\]
\end{rem}
