
Notons $n$ le nombre de cartes différentes. Le nombre de permutations est alors égal à $n!$.

Il faut donc résoudre l'inéquation:
\[
n! \geqslant 10^{79}.
\]

Pour résoudre cette inéquation, on peut faire appel au logarithme népérien:
\begin{align*}
n! \geqslant 10^{79} & \iff \ln(n!) \geqslant \ln\big(10^{79}\big)\\
& \iff \ln(1)+\ln(2)+\ln(3)+\cdots+\ln(n) \geqslant 79\ln(10).
\end{align*}

On peut alors faire appel à un programme Python pour déterminer la première valeur de $n$ pour laquelle l'inégalité est vraie.

\begin{python}
from math import log
n = 1
s = 0
while s < 79*log(10):
    n += 1
    s += log(n)
print(n)
\end{python}

\medskip

Ce programme affiche la valeur \og 59 \fg.

\medskip

Il faut donc que le jeu comporte 59 cartes différentes pour que le nombre de permutations dépasse le nombre d'atomes dans l'Univers visible.

\newpage

Si vous n'avez pas encore vu la notion de logarithme népérien, le programme suivant affiche aussi \og 59 \fg:

\begin{python}
f,n = 1,1
while f < 10**79:
    n += 1
    f *= n
print(n)
\end{python}

\begin{rem}
Remplacez \og 79 \fg{} par \og \numprint{1000} \fg{} dans les deux programmes et vous verrez pourquoi le premier est plus intéressant...

\textit{Spoiler alert} : le second risque de prendre pas mal de temps, même avec un bon processeur !
\end{rem}
