
\begin{enumerate}
\item Il y a 7 éléments dans $E$, donc il y a $7\times6\times5=210$ 3-uplets d'éléments \textit{distincts} de $E$.

Il y a 10 éléments dans $F$ donc il y a $\dbinom{10}{4}=210$ combinaisons à 4 éléments de $F$.

\underline{Finalement, l'affirmation 1 est fausse.}

\medskip

\item On souhaite ici constituer un groupe de 3 filles (prises parmi 18) et de 3 garçons (pris parmi 14). L'ordre ne compte pas donc le nombre d'équipes est:
\[
\dbinom{3}{18}\times\dbinom{14}{3}=\numprint{297024}.
\]
\underline{L'affirmation 2 est donc vraie.}

\medskip

\item Le code à 4 chiffres doit comporter 4 chiffres distincts, le premier chiffre étant différent de 0.
On a donc le choix entre:
\begin{itemize}
\item 9 chiffres pour le premier (de 1 à 9);
\item 9 chiffres pour le deuxième (0 et les 8 autres qu'il reste si on exclut le premier choisi);
\item 8 chiffres pour le troisième (en excluant les deux qui ont été choisis pour le premier et le deuxième chiffre du code);
\item 7 chiffres pour le quatrième.
\end{itemize}
Le nombre de codes possibles est donc:
\[
9 \times 9 \times 8 \times 7 = \numprint{4536}.
\]
\underline{L'affirmation 3 est donc fausse.}

\medskip

\item Chaque joueur de l'équipe ayant 22 joueurs serre la main de chaque joueur de l'autre équipe (avec 25 joueurs). Il s'agit donc d'un \textit{produit cartésien}.

Il y a donc $22 \times 25 = 550$ poignées de mains.

\underline{L'affirmation 4 est donc fausse.}

\medskip

\item On cherche ici non pas un \textit{podium} mais un groupe de 3 personnes parmi les 18 concurrents. Il y  a donc
\[
\dbinom{18}{3} = \numprint{816}
\]
groupes possibles.

\underline{L'affirmation 5 est donc fausse.}

\medskip

\item On impose ici que Jacques fasse partie du podium. Il reste donc 2 places. On cherche donc un arrangement à deux éléments dans un ensemble à seulement 6 éléments (le groupe total auquel on enlève Jacques). Il y a donc:
\[
6 \times 5 = 30
\]
possibilités.

Mais il nous reste à placer Jacques, et il y a $\dbinom{3}{1}=3$ manières de le placer.

Finalement, il y a $30 \times3 = 90$ podiums possibles.

\underline{L'affirmation 6 est donc vraie.}

\medskip

\item Une anagramme du mot EULER est une permutation: il y en aurait 5! si l'on distinguait les deux \og E \fg, ce qui n'est pas le cas. On les compte donc deux fois en prenant 5! anagrammes.

Finalement, il y a $\dfrac{5!}{2}=60$ anagrammes au mot EULER.

\underline{L'affirmation 7 est donc fausse.}
\end{enumerate}
