
Commençons par poser $X$ la variable aléatoire représentant le nombre de \og 1 \fg{} obtenus.

$X$ suit alors la loi $\mathcal{B}\left(n;\frac{1}{6}\right)$ et a donc une espérance égale à $\dfrac{n}{6}$ et une variance égale à\linebreak $np(1-p)=\dfrac{5n}{36}$.

On nous demande ici de trouver un entier $n$ tel que:
\[
P\left(0 \leqslant X \leqslant \dfrac{n}{3}\right) \geqslant 0,99.
\]
L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev nous dit que:
\begin{align*}
\forall\delta>0,\ & P\left(\left|X-\dfrac{n}{6}\right| \geqslant \delta\right) \leqslant \dfrac{5n}{36\delta^2}
\\
& \iff P\left[ \left( X-\dfrac{n}{6} \leqslant -\delta\right) \cup  \left( X-\dfrac{n}{6} \geqslant \delta\right) \right] \leqslant \dfrac{5n}{36\delta^2}
\end{align*}

\begin{align*}
\forall\delta>0,\ & \iff 1 - P\left(-\delta \leqslant X-\dfrac{n}{6} \leqslant \delta\right) \leqslant \dfrac{5n}{36\delta^2}\\
& \iff P\left(-\delta \leqslant X-\dfrac{n}{6} \leqslant \delta\right) \geqslant 1-\dfrac{5n}{36\delta^2}.
\end{align*}
On aimerait arriver à une inégalité avec $P\left(0 \leqslant X \leqslant \dfrac{n}{3}\right)$; cela nous pousse à prendre $\delta=\dfrac{n}{6}$ pour obtenir:
\[
P\left(0\leqslant X \leqslant \dfrac{n}{3}\right) \geqslant 1-\dfrac{5}{n}.
\]
Ainsi, il suffit de choisir un $n$ tel que:
\[
1-\dfrac{5}{n} \geqslant 0,99 \iff n \geqslant 500.
\]
Nous sommes donc assurés que pour $n\geqslant500$, notre probabilité  est supérieure à $0,99$.
\begin{rem}
Ce raisonnement nous assure que la probabilité est supérieure à 0,99 pour $n\geqslant500$ sans affirmer que 500 est la valeur minimale. Pour avoir une valeur minimale, on peut écrire un programme Python (par exemple) qui calcule cette probabilité en partant de $n=500$ et en baissant cette valeur jusqu'à obtenir une probabilité inférieure à 0,99.
\begin{python}
from scipy.stats import binom
n = 500
while binom.cdf(n//3, n, 1/6) >= 0.99:
    print('n = {} ; proba = {}'.format(n,binom.cdf(n//3, n, 1/6)))
    n -= 1
\end{python}
Ce programme nous donne comme dernière valeur de $n$, donc comme valeur minimale de $n$ : $n = 33$. Autant dire que nous en sommes loin avec l'application de l'inégalité de Bienaymé-Tchebycheff...
\end{rem}
