
\begin{enumerate}
\item Notons $X_i$ la variable aléatoire représentant le nombre obtenu au lancer $i$, avec $1 \leqslant i \leqslant n$.

Il y a équiprobabilité à chaque lancer car le dé est équilibré.

Donc la loi de probabilité de $X_i$ est:
\[
\forall 1 \leqslant k\leqslant 6,\quad P(X_i=k) = \dfrac{1}{6}.
\]
Alors,
\[
\esp{$X_i$} = \dfrac{1}{6}(1+2+3+4+5+6) = \dfrac{1}{6}\times\dfrac{6\times(6+1)}{2}=\dfrac{21}{6}=\dfrac{7}{2}
\]
et
\[
\var{$X_i$} = \dfrac{1}{6}\sum_{k=1}^6\left( x_i-\dfrac{7}{2} \right)^2 = \dfrac{35}{12}.
\]
Ainsi,
\[
\esp{$M_n$} = \dfrac{1}{n}\times n\esp{$X_i$} = \dfrac{7}{2}
\]
et, puisque les $X_i$ sont toutes indépendantes,
\[
\var{$M_n$}=\dfrac{1}{n^2}\times n \var{$X_i$} = \dfrac{35}{12n}.
\]

\item L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev appliquée à $M_n$ donne:
\[
\forall\delta>0,\quad P(|M_n-\esp{$M_n$}| \geqslant \delta) \leqslant \dfrac{\var{$M_n$}}{\delta^2}.
\]
En prenant $\delta=0,4$, cela donne:
\[
P(|M_n-3,5| \geqslant 0,4) \leqslant \dfrac{35}{12n\times 0,4^2}
\]
soit:
\[
P(|M_n-3,5| \geqslant 0,4) \leqslant \dfrac{35}{1,92n}.
\]
On souhaite que cette probabilité soit inférieure ou égale à 0,1, donc il suffit de choisir $n$ tel que:
\begin{align*}
\dfrac{35}{1,92n} \leqslant 0,1 & \iff 35 \leqslant 0,1\times 1,92n\\
& \iff n \geqslant \dfrac{35}{0,192}\\
& \iff n \geqslant 183.
\end{align*}

\item Si l'on effectue 183 lancers ou plus, alors l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev garantit que la probabilité que la moyenne des résultats s'écarte de 3,5 de plus de 0,40 est inférieure ou égale à \pourcent{10}.

Autrement dit, avec au moins 183 lancers, on a au moins \pourcent{90}
de chances que la moyenne empirique soit dans l'intervalle \intervFF{3,1}{3,9}.
\end{enumerate}
