
Pour $1 \leqslant k \leqslant n$,  considérons l'événement :
\begin{center}
\og une boule rouge est tirée lors du $k$-ième tirage \fg.
 \end{center}

Notons alors $X_k$ la variable aléatoire représentant le nombre de boules rouges obtenues lors du $k$-ième tirage. $X_k$ soit la loi de Bernoulli de probabilité $\dfrac{2}{5}$, a pour espérance $\mu = \dfrac{2}{5} =  0,4$ et pour variance $\sigma^2 = \dfrac{2}{5}\times
\dfrac{3}{5}= 0,24$.

La proportion de boules rouges obtenues après $n$ tirages  est $M_n=\dfrac{X_1+\cdots+X_n}{n}$.

On cherche donc la première valeur de $n$ à partir de laquelle :
\[
P(|M_n-0,4| < 0,05) \geqslant 0,95 \iff P(|M_n-0,4| \geqslant 0,05) \leqslant 0,05.
\]
La propriété du cours sur l'inégalité de concentration sur la moyenne nous dit que, pour $\delta=0,05$:
\[
P(|M_n-0,4| \geqslant 0,05) \leqslant \dfrac{0,24}{0,0025n}.
\]
Une valeur de $n$ satisfaisante est donc la plus petit valeur de $n$ telle que:
\begin{align*}
\dfrac{0,24}{0,0025n} \leqslant 0,05 & \iff \dfrac{0,0025n}{0,24} \geqslant \dfrac{1}{0,05}\\
& \iff 0,0025n \geqslant \dfrac{0,24}{0,05}\\
& \iff n \geqslant \dfrac{0,24}{0,05 \times 0,0025}\\
& \iff n \geqslant \numprint{1920}.
\end{align*}

Ce dernier résultat nous assure à 95\% que la proportion de boules rouges tirées se trouve dans l'intervalle $]0,35 ; 0,45[$.

\begin{rem}
Si l'on effectue des simulations de cette expérience, on peut se rendre compte que l'on obtient une proportion dans l'intervalle pour des valeurs de $n$ plus petites. Il est donc important de se souvenir que l'inégalité de concentration nous assure une valeur de $n$ adéquate mais qu'elle n'est pas toujours minimale.
\end{rem}
