
\begin{enumerate}
\item  L'expérience consistant à choisir un candidat est une épreuve de Bernoulli, dont la probabilité du succès (obtenir le permis dès la première fois) est $p=0,747$.

On réalise 10 fois cette expérience et on suppose que les épreuves aléatoires sont indépendantes.

Donc  la variable aléatoire $X$, donnant le nombre de ces 10 candidats qui auront leur permis dès la première tentative, suit la loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=0,747$.

\item $P(X \geqslant 6) = 1-  P(X \leqslant 5)$.

À la calculatrice, on trouve  $P(X \leqslant 5) \approx 0,082$ donc $P(X \geqslant 6) \approx 0,918$.

On peut donc estimer à $91,8\,\%$ le pourcentage de chances que sur 10 candidats, au moins 6 obtiennent le permis dès leur première tentative.

\item $E(X)=np=10\times 0,747=7,47$.

$V(X)=np\left (1-p\right )=10\times 0,747 \times 0,253 \approx 1,890$.

\item
\begin{enumerate}
\item D'après l'énoncé, $Z=X+Y$.

Par linéarité de l'espérance,
\[
E(Z)=E(X)+E(Y) = 7,47+ 22,53 = 30.
\]
Les variables $X$ et $Y$ sont indépendantes, donc:
\[
V(Z)=V(X)+V(Y) \approx 1,89 + 9,81 = 11,7.
\]

\item La variable aléatoire $Z$ a pour espérance $E(Z)$ et pour variance $V(Z)$ donc, d'après l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, on a:
\[
\forall\delta>0,\qquad P( |Z-E(Z)| \geqslant \delta ) \leqslant \dfrac{V(Z)}{\delta^2}.
\]
soit ici:
\[
\forall\delta>0,\qquad P( |Z-30| \geqslant \delta ) \leqslant \dfrac{11,7}{\delta^2}.
\]
On cherche la probabilité qu'il y ait moins de 20 ou plus de 40 candidats reçus, soit:
\[
20 \leqslant Z \leqslant 40 \iff -10 \leqslant Z-30 \leqslant 10 \iff |Z-30|\leqslant10.
\]
Pour $\delta=10$, l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev devient:
\[
P(|Z-30| \geqslant 10) \leqslant \dfrac{11,7}{10^2}
\]
soit:
\[
P(|Z-30| \geqslant 10) \leqslant 0,117.
\]
La probabilité qu'il y ait moins de 20 ou plus de 40 candidats qui aient leur permis dès la première tentative est donc inférieure à 0,12.	
\end{enumerate}
\end{enumerate}
