
\begin{enumerate}
\item Notons $x = \probavar{X}{0}$. La loi de probabilité de $X$ est:
\begin{center}
\begin{tabular}{|Sl|Sc|Sc|Sc|Sc|}
\hline
$X=k$    &  0  & 2 &         5        & 7\\
\hline
$P(X=k)$ & $x$ & $\dfrac{3}{5}x$  & $\dfrac{1}{2}x$ & $\dfrac{1}{5}x$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
La somme des probabilités est égale à 1 donc:
\begin{align*}
x+\dfrac{1}{2}x+\dfrac{3}{5}x+\dfrac{1}{5}x = 1 & \iff \dfrac{23}{10}x = 1\\
 & \iff x = \dfrac{10}{23}.
\end{align*}
D'où :
\begin{center}
\begin{tabular}{|Sl|Sc|Sc|Sc|Sc|}
\hline
$X=k$    &  0  & 2 &         5        & 7\\
\hline
$P(X=k)$ & $\dfrac{10}{23}$ & $\dfrac{6}{23}$  & $\dfrac{5}{23}$ & $\dfrac{2}{23}$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\item $\esp{X}=2\times\dfrac{6}{23} + 5\times\dfrac{5}{23} + 7\times\dfrac{2}{23}=\dfrac{51}{23}$.


\item Notons $X_k$ la variable aléatoire représentant le nombre de minutes de retard du train d'Hubert le jour $k$, $1 \leqslant k \leqslant 20$.

Posons alors : $M_{20} = \dfrac{X_1 + X_2 + \cdots + X_{20}}{20}$. Alors,
\begin{align*}
E(M_{20}) & = \dfrac{E(X_1 + X_2 + \cdots + X_{20})}{20}\\& = \dfrac{E(X_1) + E(X_2) + \cdots + E(X_{20})}{20}\\
& = \dfrac{20 \times \frac{51}{23}}{20}\\
& = \dfrac{51}{23}\\
& \approx 2,22.
\end{align*}

\underline{Ainsi, le retard moyen du train d'Hubert sur les 20 jours est d'environ 2 min 13 s.}

\end{enumerate}
