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\begin{enumerate}
\item $f(0)=(2+0)\e^{-0/3}=2$.

Cela signifie qu'à l'instant où l'élément radioactif est introduit dans l'eau, le taux de becquerels par litre est égal à 2 Bq/L.

\item $f(t)=2\e^{-t/3} + t\e^{-t/3} = 2\e^{-t/3} + 3 \times \dfrac{1}{3}t\e^{-t/3} = 2\e^{-t/3} + 3 \times \dfrac{\frac{1}{3}t}{\e^{\frac{1}{3}t}}$.

Or,
$
\left.
\begin{array}{r}
\limite{t}{+\infty}{\left(-\dfrac{t}{3}\right)}=-\infty\\
\limite{T}{-\infty}{\big(\e^T\big)}=0
\end{array}
\right\} \implies \limite{t}{+\infty}{\big( 2\e^{-t-3} \big)} = 0
$

et

$\limite{T}{+\infty}{\left(\dfrac{T}{\e^T}\right)}=0$ (croissances comparées) donc $\limite{t}{+\infty}{\left(\dfrac{\frac{1}{3}t}{\e^{\frac{1}{3}t}} \right)}=0$.

Ainsi, par somme et produit de limites,
\[
\boxed{ \limite{t}{+\infty}{f(t)}=0 }
\]

\item
\begin{enumerate}
\item $f = u \times v$ avec $\begin{aligned}[t]
u(t) = 2+t & \qquad v(t) = \e^{-t/3}\\
u'(t) = 1 & \qquad v'(t) = -\dfrac{1}{3}\e^{-t/3}
\end{aligned}$

Ainsi,
\begin{align*}
f'(t) & = (u'v + v'u)(t)\\
	  & = 1\times\e^{-t/3} -\dfrac{1}{3}\e^{-t/3} \times (2+t)\\
	  & = \left[ 1-\dfrac{1}{3}(2+t) \right]\e^{-t/3} \\
	  & = \left[ \dfrac{3-2-t}{3} \right]\e^{-t/3} \\
\Aboxed{f'(t) & = \dfrac{1-t}{3}\e^{-t/3}}
\end{align*}

\item Pour tout réel $t$ positif, $\e^{-t/3}>0$ et $3>0$ donc $f'(t)$ est du signe de $1-t$. Or,
\[
1-t \geqslant 0 \iff t \leqslant 1.
\]
De plus,
\[
f(1) = 3\e^{-1/3}.
\]
On en déduit le tableau suivant:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[every node/.style = {fill=pagebb}]
\colorlet{white}{pagebb}
\tkzTabInit[espcl=4,deltacl=1]{$t$/0.5,$f'(t)$/0.5,$f(t)$/1}{0,1,$+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-}
\tkzTabVar{-/$2$,+/$3\e^{-1/3}$,-/$0$}
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item Sur \intervOO{6}{7},
\begin{itemize}
\item $f$ est continue et strictement décroissante;
\item $f(6) = 8\e^{-2} \approx 1,08$ et $f(7) = 9\e^{-7/2} \approx 0,27$ donc $1\in\intervOO{f(7)}{f(6)}$.
\end{itemize}
Ainsi, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, il existe un unique réel $\alpha\in\intervOO{6}{7}$ tel que $f(\alpha)=1$.

À l'aide de la calculatrice, on trouve: $\alpha \approx6,38$.

Cela signifie qu'après $6,38$ jours (soit à peu près 6 jours et 9 heures), l'eau redevient potable.
\end{enumerate}

\item $f''(t) = \dfrac{t-4}{9}\e^{-t/3}$.

Pour tout réel $t$ positif, $\e^{-t/3}>0$ et $3>0$ donc $f''(t)$ est du signe de $t-4$. Ainsi,
\begin{itemize}
\item pour $0 \leqslant t < 4$, $f''(t)<0$ donc $f$ est \textit{concave};
\item pour $t>4$, $f''(t)>0$ donc $f$ est convexe;
\item en $t=4$, la courbe représentative de $f$ admet un point d'inflexion.
\end{itemize}

En $t=4$, la dérivée $f'$ atteint donc son minimum: c'est le moment où la vitesse de décroissance du taux est la plus grande. Concrètement, c'est le quatrième jour après l'incident que le taux de radioactivité baisse le plus vite. Avant ce jour, bien que le taux diminue, la décroissance ralentit; après ce jour, la décroissance s'accélère à nouveau.
\end{enumerate}
