
\begin{enumerate}
\item On remplace $x$, $y$ et $z$ par respectivement $1+2t$, $-1+t$ et $2-t$ dans l'équation cartésienne de $\mathcal{P}$ donnée dans l'énoncé:
\[
-(1+2t)+2(-1+t) + (2-t) = 3 \iff t = -4.
\]
Le plan et la droite sont donc sécants. Pour trouver les coordonnées du point d'intersection, on remplace $t$ par $-4$ dans la représentation paramétrique de $(d)$ donnée dans l'énoncé:
\[
\begin{cases}
x = 1 + 2(-4) = 1-8 = -7\\
y = -1 + (-4) = -5\\
z = 2 - (-4) = 6
\end{cases}
\]
Le point $I\coordEsp{-7}{-5}{6}$ est le point d'intersection de $(d)$ et $\mathcal{P}$.

\medskip

\underline{L'affirmation 1 est donc vraie.}

\bigskip

\item Des segments sont en fait des couples de points pris parmi les 17 points. Le nombre total de segments est donc égal à :
\[
\dbinom{17}{2} = 136.
\]
Il y a donc 136 segments qui relient les 17 points.

\underline{L'affirmation est donc fausse.}

\bigskip

\item D'après le cours, la distance de $A_1\coordEsp{5}{-2}{6}$ au plan $\mathcal{P}\,:\, -x + 2y + z = 3$ est:
\[
\dfrac{|-1\times5 + 2\times(-2) + 6 - 3|}{\sqrt{(-1)^2+2^2+1^2}} = \dfrac{6}{\sqrt{6}}=\sqrt6.
\]

\underline{L'affirmation 3 est donc fausse.}

\bigskip

\item Pour vérifier si les points de coordonnées \coordEsp{u_n}{u_{n+1}}{u_{n+2}} appartiennent à $\mathcal{P}$, on peut vérifier si:
\[
\forall n\in\N,\ -u_n + 2u_{n+1} + u_{n+2} = 3.
\]
On calcule donc:
\begin{align*}
-u_n + 2u_{n+1} + u_{n+2} & = -\dfrac{3}{2}(1-r^n) + 2\left[ \dfrac{3}{2}(1-r^{n+1}) \right] + \dfrac{3}{2} (1-r^{n+2} )\\
& =  -\dfrac{3}{2}+\dfrac{3}{2}r^n + 3-3r\times r^n  + \dfrac{3}{2}-\dfrac{3}{2}r^2r^{n}\\
& = -\dfrac{3}{2}+3+\dfrac{3}{2} + r^n \left( \dfrac{3}{2} -3r -\dfrac{3}{2}r^2\right)
\intertext{(on constate que $r^2 = 3-2\sqrt2 = 1-2(\sqrt2-1)=1-2r$)}
& = 3 + r^n\underbrace{\left( \dfrac{3}{2}-3r-\dfrac{3}{2}(1-2r)\right)}_{=0}\text{ car }r^2=1-2r\\
& = 3.
\end{align*}
Ainsi, pour tout entier naturel $n$, points de coordonnées \coordEsp{u_n}{u_{n+1}}{u_{n+2}} appartiennent à $\mathcal{P}$.

\medskip

\underline{L'affirmation 4 est donc vraie.}
\end{enumerate}
