
\medskip

\partie{A: dénombrement}

\begin{enumerate}
\item Un mot de passe est ici un 6-uplet d'un ensemble à 36 éléments. En effet, chacun des 36 caractères peut être choisi pour les 6 qui composent le mot de passe.

\underline{Il y a donc $36^6$ mots de passe possibles.}

\item Un code d'accès temporaire est ici un arrangement de 6 caractères dans un ensemble à 36 éléments.

\underline{Il y a donc $A_{36}^6 = 36\times35\times\cdots\times31=\numprint{1402410240}$ codes d'accès.}

\item Un code de validation est ici une permutation de l'ensemble \{1,2,3,4\}.

\underline{Il y a donc $4! = 24$ codes de validation différents possibles.}

\item Un groupe de 10 personnes prises parmi 50 est une combinaison (l'ordre ne compte pas dans un tel groupe).

\underline{Il y a donc $\dbinom{50}{10}=\numprint{10272278170}$ groupes différents possibles.}
\end{enumerate}

\newpage

\partie{B: probabilités}

\begin{enumerate}
\item On répète \textit{8 fois} de façon \textit{indépendante} l'expérience consistant à regarder si un chiffre du mot de passe est dans l'ensemble \{8,9\}, épreuve de Bernoulli de probabilité $\dfrac{2}{10}=0,2$.

Ainsi, le nombre $X$ de succès  à l'issue de ces 8 successions d'épreuves est une variable aléatoire qui suit la loi binomiale de paramètres $n=8$ et $p=0,2$.

\item $P(X=0)$ est la probabilité qu'il n'y ait aucun chiffre de l'ensemble \{8,9\}.

Ainsi,
\[
\boxed{ P(X=0)=(1-p)^8 = 0,8^8 \approx \numprint{0,1678} }
\]

\item La formule de Bernoulli nous permet de calculer:
\begin{align*}
P(X=1) & = \dbinom{8}{1}\times p^1 \times (1-p)^{8-1}\\
	   & = 8\times0,2\times0,8^7\\
\Aboxed{P(X=1) & \approx \numprint{0,3355}}
\end{align*}

\item La mention \og en déduire \fg{} nous incite à ne pas utiliser la calculatrice directement pour calculer cette probabilité.
\begin{align*}
P(X \geqslant 2) & = 1- P(X \leqslant 1)\\
				 & = 1- P(X=0) - P(X=1)\\
				 & \approx 1 - \numprint{0,1678} - \numprint{0,3355}\\
\Aboxed{P(X \geqslant 2) & \approx \numprint{0,4967} }
\end{align*}

\item $X$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}\coord{8}{0,2}$ donc son espérance est:
\[
\esp{X} = n \times p = 8 \times 0,2 \iff \boxed{ \esp{X} = 1,6 }
\]
et sa variance  est:
\[
\var{X} = n \times p \times (1-p) = 8 \times 0,2 \times 0,8 \iff \boxed{ \var{X}= 1,28}
\]

\underline{Il y a donc en moyenne 1,6 chiffre qui sont soit 8, soit 9 dans un mot de passe.}
\end{enumerate}

\bigskip

\partie{C: concentration}

\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item L'espérance de $F_n$ est:
\begin{align*}
\esp{$F_n$} & = \esp{$\dfrac{X_1+X_2+\cdots+X_n}{n}$}\\
			& = \dfrac{1}{n}\esp{$X_1+\cdots+X_n$}\\
			& = \dfrac{1}{n}\times n\esp{$X_1$}\text{ par linéarité de l'espérance}\\
			& = \esp{$X_1$}\\
\Aboxed{\esp{$F_n$} & = 0,2}
\end{align*}

\columnbreak

Sa variance est alors:
\begin{align*}
\var{$F_n$} & = \dfrac{1}{n^2}\var{$X_1+\cdots+X_n$}\\
			& = \dfrac{1}{n^2} \times n \var{$X_1$}\text{ car les $X_i$ sont indépendantes}\\
			& = \dfrac{\var{$X_1$}}{n}\\
			& = \dfrac{0,2 \times 0,8}{n}\\
\Aboxed{\var{$F_n$} & = \dfrac{0,16}{n}}
\end{align*}
\end{multicols}

\item Le théorème de Bienaymé-Tchebychev stipule que:
\[
\forall \delta>0,\ P(|X-\esp{X}| \geqslant \delta) \leqslant \dfrac{\var{X}}{\delta^2}.
\]
En prenant $X=F_n$ et $\delta=0,1$, cela donne:
\[
P( | F_n - 0,2 | \geqslant 0,1 ) \leqslant \dfrac{0,16}{n\times0,1^2}
\]
soit:
\[
\boxed{ P( | F_n - 0,2 | \geqslant 0,1 ) \leqslant \dfrac{16}{n} }
\]

\item Pour garantir que $P\!\left(\left|F_n - 0,2\right| \geqslant 0,1\right) \leqslant 0,01$, il suffit de choisir $n$ tel que:
\begin{align*}
\dfrac{16}{n} \leqslant 10^{-2} & \iff \dfrac{n}{16} \geqslant 10^2\\
& \iff n \geqslant 100 \times 16\\
& \iff \boxed{ n \geqslant \numprint{1600} }
\end{align*}

Ainsi, en analysant au moins \numprint{1600} mots de passe, l'auditeur peut affirmer avec une probabilité supérieure ou égale à 0,99 que la proportion observée de mots de passe forts est comprise entre 0,1 et 0,3.
\end{enumerate}

