
\begin{enumerate}
\item Il suffit de voir si les coordonnées des points $B$, $C$ et $D$ vérifient l'équation donnée. On voit assez rapidement que:
\[
x_B + y_B + z_B = 6  \neq 3.
\]
$B$ n'appartient donc pas au plan d'équation $x+y+z=3$.

\medskip

\underline{L'affirmation 1 est donc fausse.}

\bigskip

\item La droite $(AD)$ passe par $A(0\,;\,0\,;\,0)$ et admet pour vecteur directeur $\vv{AD}\begin{pmatrix}0\\0\\6\end{pmatrix}$. La représentation paramétrique donnée est donc bien une représentation de $(AD)$

\medskip

\underline{L'affirmation 2 est donc vraie.}

\bigskip

\item $x_G+y_G+z_G=2+2+2=6$ donc $G\in(BCD)$.

De plus, de manière immédiate, une représentation paramétrique de la droite $(AH)$ est:
\[
\begin{cases}
x=k\\
y=k\\
z=k
\end{cases},\ k\in\R.
\]
Donc $G\in(AH)$.

$G$ est donc l'intersection de la droite $(AH)$ et du plan $(BCD)$

\medskip

\underline{L'affirmation 3 est donc vraie.}

\newpage

\item On détermine des représentations paramétriques des droites $(AB)$ et $(CD)$.

\textbf{Droite\boldmath\ $(AB)$} : passe par $A(0\,;\,0\,;\,0)$, direction $\vv{AB}\begin{pmatrix}6\\0\\0\end{pmatrix}$ :
\[
\left\{
\begin{array}{l}
x = 6s \\
y = 0 \\
z = 0
\end{array}
\right.,
\quad s \in \mathbb{R}.
\]

\textbf{Droite\boldmath\ $(CD)$} : passe par $C(0\,;\,6\,;\,0)$, direction $\vv{CD}\begin{pmatrix}0\\-6\\6 \end{pmatrix}$ :
\[
\left\{
\begin{array}{l}
x = 0 \\
y = 6 - 6t \\
z = 6t
\end{array}
\right.,
\quad t \in \mathbb{R}.
\]

Les vecteurs directeurs $\vv{AB}$ et $\vv{CD}$ ne sont pas colinéaires,
donc les droites ne sont pas parallèles.

Si elles étaient sécantes, il existerait $(s, t) \in \mathbb{R}^2$ vérifiant :
\[
\left\{
\begin{array}{lll}
(i)  & 6s = 0 \\
(ii) & 0 = 6 - 6t \\
(iii)& 0 = 6t
\end{array}
\right.
\]

De $(i)$ : $s = 0$.

De $(ii)$ : $t = 1$.

De $(iii)$ : $t = 0$.

\medskip

Les équations $(ii)$ et $(iii)$ sont incompatibles : le système n'a pas de solution.

Les droites $(AB)$ et $(CD)$ ne sont ni parallèles ni sécantes.

\medskip

\underline{L'affirmation 4 est donc fausse.}

\item Le plan $(BCD)$ a pour équation $x + y + z = 6$, soit $x + y + z - 6 = 0$.

La distance d'un point $P(x_0\,;\,y_0\,;\,z_0)$ à un plan $ax+by+cz+d=0$ est :
\[
\delta = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}.
\]
Avec $A(0\,;\,0\,;\,0)$, $a=b=c=1$ et $d=-6$ :
\[
\delta = \frac{|1\times 0 + 1\times 0 + 1\times 0 - 6|}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}}
= \frac{6}{\sqrt{3}}
= \frac{6\sqrt{3}}{3}
= 2\sqrt{3}.
\]

\underline{L'affirmation 5 est donc vraie.}
\end{enumerate}

