
\begin{attention}
Dans mon cours, j'ai inséré la propriété \ref{prop:fracrat} (limites aux infinis des fractions rationnelles), mais beaucoup d'enseignants ne l'utilisent pas et préfèrent passer par la méthode générale consistant à factoriser le numérateur et le dénominateur par le terme de plus haut degré. C'est ainsi que je vais corriger toutes les questions portant sur les limites de fractions rationnelles pour aider au mieux les élèves.
\end{attention}
\begin{enumerate}
\item  $\limite{x}{+\infty}{\left(\dfrac{3-x}{4+x}\right)}$. Pour $x>0$ (car on regarde la limite en $+\infty$):
\[
\dfrac{3-x}{4+x} = \dfrac{x\left( \frac{3}{x}-1 \right)}{x\left( \frac{4}{x}+1 \right)} = \dfrac{\frac{3}{x}-1}{\frac{4}{x}+1}.
\]
Or, $\limite{x}{+\infty}{\left(\dfrac{1}{x}\right)}=0$ donc:
\begin{itemize}
\item $\limite{x}{+\infty}{\left( \frac{3}{x}-1 \right)}=-1$;
\item $\limite{x}{+\infty}{\left( \frac{4}{x} + 1\right)}=1$.
\end{itemize}
Ainsi, par quotient des limites,
\[
\boxed{ \limite{x}{+\infty}{\left(\dfrac{3-x}{4+x}\right)} = -1 }
\]

\item $\limite{x}{+\infty}{\left(\dfrac{x^2-3x+2}{2x^2+1}\right)}$. Pour $x>0$ (car on regarde la limite en $+\infty$):
\[
\dfrac{x^2-3x+2}{2x^2+1} = \dfrac{\cancel{x^2}\left( 1 - \frac{3}{x} + \frac{2}{x^2} \right)}{\cancel{x^2}\left( 2 + \frac{1}{x} \right)} = \dfrac{1 - \frac{3}{x} + \frac{2}{x^2} }{ 2 + \frac{1}{x} }.
\]
Or, pour tout entier naturel $n$ non nul, $\limite{x}{+\infty}{\left(\dfrac{1}{x^n}\right)}=0$ donc:
\begin{itemize}
\item $\limite{x}{+\infty}{\left( 1 - \frac{3}{x} + \frac{2}{x^2} \right)} = 1$;
\item $\limite{x}{+\infty}{\left( 2 + \frac{1}{x} \right)} = 2$.
\end{itemize}
Ainsi, par quotient des limites,
\[
\boxed{ \limite{x}{+\infty}{\left(\dfrac{x^2-3x+2}{2x^2+1}\right)} = \dfrac{1}{2} }
\]

\item $\limite{x}{-\infty}{\left(\dfrac{x^2+5x-7}{x^2+3x-1}\right)}$. Pour $x<0$ (car on regarde la limite en $-\infty$):
\[
\dfrac{x^2+5x-7}{x^2+3x-1} = \dfrac{\cancel{x^2}\left(1 + \frac{5}{x} - \frac{7}{x^2} \right)}{\cancel{x^2}\left(1 + \frac{3}{x} - \frac{1}{x^2} \right)} = \dfrac{ 1 + \frac{5}{x} - \frac{7}{x^2} }{ 1 + \frac{3}{x} - \frac{1}{x^2} }.
\]
\newpage
Or, pour tout entier naturel $n$ non nul, $\limite{x}{+\infty}{\left(\dfrac{1}{x^n}\right)}=0$ donc:
\begin{itemize}
\item $\limite{x}{-\infty}{\left( 1 + \frac{5}{x} - \frac{7}{x^2} \right)} = 1$;
\item $\limite{x}{-\infty}{\left( 1 + \frac{3}{x} - \frac{1}{x^2} \right)} = 1$.
\end{itemize}
Ainsi, par quotient des limites,
\[
\boxed{ \limite{x}{-\infty}{\left( \dfrac{x^2+5x-7}{x^2+3x-1} \right)} = 1 }
\]

\item $\limite{x}{-\infty}{\left( \dfrac{4x^2+7x-9}{x-1} \right)}$. Pour $x<0$ (car on regarde la limite en $-\infty$):
\[
\dfrac{4x^2+7x-9}{x-1} = \dfrac{x^2\left(4+\frac{7}{x}-\frac{9}{x^2}\right)}{x\left(1-\frac{1}{x}\right)} = \dfrac{x\left(4+\frac{7}{x}-\frac{9}{x^2}\right)}{1-\frac{1}{x}}.
\]
Or, pour tout entier naturel $n$ non nul, $\limite{x}{+\infty}{\left(\dfrac{1}{x^n}\right)}=0$ donc:
\begin{itemize}
\item $\limite{x}{-\infty}{x\left(4+\frac{7}{x}-\frac{9}{x^2}\right)} = -\infty$;
\item $\limite{x}{-\infty}{\left(1-\frac{1}{x}\right)}=1$.
\end{itemize}
Ainsi, par quotient des limites,
\[
\boxed{ \limite{x}{-\infty}{\left(\dfrac{4x^2+7x-9}{x-1}\right)} = -\infty }
\]
\end{enumerate}
