
Multiplions le numérateur et le dénominateur de $f(x)$ par l'expression conjuguée du numérateur:
\begin{align*}
f(x) & = \dfrac{\sqrt{1+x^2+x\sqrt{1+x^2}} - \sqrt{1+x^2-x\sqrt{1+x^2}}}{x} \times \dfrac{\sqrt{1+x^2+x\sqrt{1+x^2}} + \sqrt{1+x^2-x\sqrt{1+x^2}}}{\sqrt{1+x^2+x\sqrt{1+x^2}} + \sqrt{1+x^2-x\sqrt{1+x^2}}}\\
& = \dfrac{2x\sqrt{1+x^2}}{x\big( \sqrt{1+x^2+x\sqrt{1+x^2}} + \sqrt{1+x^2-x\sqrt{1+x^2}} \big)}\\
& = \dfrac{2\sqrt{1+x^2}}{\sqrt{1+x^2+x\sqrt{1+x^2}} + \sqrt{1+x^2-x\sqrt{1+x^2}}}.
\end{align*}
Ainsi,
\[
\boxed{\limite{x}{0}{f(x)} = \dfrac{2\sqrt{1+0^2}}{\sqrt1+\sqrt1}=1}
\]
