
Multiplions le numérateur et le dénominateur de $f(x)$ par l'expression conjuguée du numérateur:
\begin{align*}
f(x) & = \dfrac{\sqrt{x^2+\sqrt{x^2+5}} - \sqrt{7}}{x-2} \times \dfrac{\sqrt{x^2+\sqrt{x^2+5}} + \sqrt{7}}{\sqrt{x^2+\sqrt{x^2+5}} + \sqrt{7}}\\
& = \dfrac{x^2+\sqrt{x^2+5}-7}{(x-2)\big( \sqrt{x^2+\sqrt{x^2+5}} + \sqrt{7} \big)}\\
& = \dfrac{x^2-7+\sqrt{x^2+5}}{(x-2)\big( \sqrt{x^2+\sqrt{x^2+5}} + \sqrt{7} \big)}\\
& = \dfrac{x^2-7+\sqrt{x^2+5}}{(x-2)\big( \sqrt{x^2+\sqrt{x^2+5}} + \sqrt{7} \big)} \times \textcolor{red}{\dfrac{x^2-7-\sqrt{x^2+5}}{x^2-7-\sqrt{x^2+5}}}
\end{align*}

\begin{align*}
f(x) & = \dfrac{(x^2-7)^2-(x^2+5)}{(x-2)\big( \sqrt{x^2+\sqrt{x^2+5}} + \sqrt{7} \big)\big(x^2-7-\sqrt{x^2+5} \big)}\\
& = \dfrac{x^4-15x^2+44}{(x-2)\big( \sqrt{x^2+\sqrt{x^2+5}} + \sqrt{7} \big)\big(x^2-7-\sqrt{x^2+5} \big)}.
\end{align*}

En posant $X=x^2$,
\[
x^4-15x^2+44 = X^2-15X+44,
\]
qui est un polynôme de degré 2 dont une racine évidente est $X_1=4$; donc l'autre racine est $X_2$ telle que $X_1X_2=\dfrac{c}{a}$, soit $4X_2=44$, soit $X_2=11$.

\medskip

Donc,
\[
X^2-15X+44 = (X-4)(X-11).
\]

Ainsi,
\[
x^4-15x^2+44 = (x^2-4)(x^2-11)=(x-2)(x+2)(x^2-11).
\]
D'où:
\[
f(x) = \dfrac{\cancel{(x-2)}(x+2)(x^2-11)}{\cancel{(x-2)}\big( \sqrt{x^2+\sqrt{x^2+5}} + \sqrt{7} \big)\big(x^2-7-\sqrt{x^2+5} \big)}.
\]
Alors,
\[
\boxed{\limite{x}{2}{f(x)} = \frac{(2+2)(2^2-11)}{2\sqrt7\times(-6)}=\frac{\sqrt7}{3}}
\]
