
On a:
\[
f(t) = 5t \e^{-t} = 5 \times \dfrac{t}{\e^t}.
\]
Par croissances comparées, on sait que:
\[
\limite{t}{+\infty}{\left(\dfrac{\e^t}{t}\right)} = +\infty
\]
donc:
\[
\limite{t}{+\infty}{\left(\dfrac{t}{\e^t}\right)} = \limite{t}{+\infty}{\left(\dfrac{1}{\frac{\e^t}{t}}\right)}=\limite{T}{+\infty}{\left(\dfrac{1}{T}\right)}=0.
\]
Ainsi,
\[
\limite{t}{+\infty}{f(t)} = 5 \times 0 = 0.
\]
Cela signifie qu'à longs termes, la concentration du médicament dans le sang tend à disparaître.
