
\begin{enumerate}
\item $\begin{aligned}[t]
f(x) & = x^3+4x^2-5x+1\\
	   & = x^3\left(1+\dfrac{4}{x}-\dfrac{5}{x^2}+\dfrac{1}{x^3}\right)
\end{aligned}$

Or, pour tout entier naturel $n$ non nul, $\limite{x}{+\infty}{\left(\dfrac{1}{x^n}\right)}=0$ donc $\limite{x}{+\infty}{\left(1+\dfrac{4}{x}-\dfrac{5}{x^2}+\dfrac{1}{x^3}\right)}=1$.

De plus, $\limite{x}{+\infty}{\big(x^3\big)}=+\infty$ donc par produit des limites, $\boxed{\limite{x}{+\infty}{f(x)}=+\infty}$

\bigskip

\item \raisebox{-1em}{$\begin{aligned}[t]
\left.
\begin{array}{l}
\limite{x}{+\infty}{\left(\dfrac{1}{x}\right)}=0\\[10pt]
\limite{X}{0}{\big(\sin X\big)}=0
\end{array}
\right\}\Rightarrow\boxed{\limite{x}{+\infty}{\left[\sin\left(\dfrac{1}{x}\right)\right]}=0}
\end{aligned}$}

\bigskip

\item $\begin{aligned}[t]
h(x) & = \sqrt{x^2+2x+3}\\
	   & = \sqrt{x^2\left(1+\dfrac{2}{x}+\dfrac{3}{x^2}\right)}\\
	   & = x\sqrt{1+\dfrac{2}{x}+\dfrac{3}{x^2}}\quad\text{pour $x>0$}
\end{aligned}$

Or, pour tout entier naturel $n$ non nul, $\limite{x}{+\infty}{\left(\dfrac{1}{x^n}\right)}=0$ donc $\limite{x}{+\infty}{\left(1+\dfrac{2}{x}+\dfrac{3}{x^2}\right)}=1$.

Ainsi, par produit des limites, $\boxed{\limite{x}{+\infty}{g(x)}=+\infty}$

\bigskip

\item \raisebox{-2.7em}{$\begin{aligned}[t]
\left.
\begin{array}{l}
\limite{x}{+\infty}{(x^2+1)}=+\infty\\[10pt]
\left.
\begin{array}{l}
\limite{x}{+\infty}{\left(\dfrac{1}{x}\right)}=0^+\\[10pt]
\limite{X}{0^+}{\big(\sin(X)\big)}=0^+
\end{array}
\right\} \Rightarrow \limite{x}{+\infty}{\left[\sin\left(\dfrac{1}{x}\right)\right]}=0^+
\end{array}
\right\}\Rightarrow\text{ par quotient des limites, }\boxed{\limite{x}{+\infty}{k(x)}=+\infty}
\end{aligned}$}
\end{enumerate}
