
\begin{enumerate}
\item $\limite{x}{+\infty}{\left(\dfrac{x}{\e^x}\right)}$.

On sait d'après le cours (croissances comparées) que $\limite{x}{+\infty}{\left(\dfrac{\e^x}{x}\right)}=+\infty$ donc, en inversant l'expression,
\[
\boxed{ \limite{x}{+\infty}{\left(\dfrac{x}{\e^x}\right)} = \limite{X}{+\infty}{\left(\dfrac{1}{X}\right)} = 0 }
\]

\item $\limite{x}{+\infty}{\left(\dfrac{\e^x}{7+2x}\right)}$.
\begin{methode}
Quand on doit calculer une limite à l'infini d'une expression où est présente l'exponentielle, il faut s'arranger pour transformer l'expression de sorte à faire apparaître une croissance comparée.
\end{methode}
\begin{align*}
\dfrac{\e^x}{7+2x} & = \dfrac{\e^x}{x\left(\frac{7}{x}+2\right)}\\
& = \dfrac{\e^x}{x} \times \dfrac{1}{2+\frac{7}{x}}.
\end{align*}
Or, $\limite{x}{+\infty}{\left(\dfrac{\e^x}{x}\right)}=+\infty$ (croissances comparées) et $\limite{x}{+\infty}{\left(\dfrac{1}{2+\frac{7}{x}}\right)}=\dfrac{1}{2}$.

Ainsi, par produit,
\[
\boxed{ \limite{x}{+\infty}{\left(\dfrac{\e^x}{7+2x}\right)} = +\infty }
\]


\item $\limite{x}{+\infty}{\left(\dfrac{\e^{5x}}{3x-2}\right)}$.

\medskip

Comme dit dans la méthode précédente, on doit faire apparaître une croissance comparée dans l'expression. La plus appropriée semble être $\limite{x}{+\infty}{\left(\dfrac{\e^x}{x}\right)}=+\infty$.
\begin{align*}
\dfrac{\e^{5x}}{3x-2} & = \dfrac{\e^{\color{red}5x}}{\frac{3}{5}\times{\color{red}5x}-2}\\
& = \dfrac{\e^{5x}}{\frac{3}{5}\left(5x - \dfrac{2}{\frac{3}{5}} \right)}\\
& = \dfrac{\e^{5x}}{\frac{3}{5}\left(5x - \frac{10}{3} \right)}\\
& = \dfrac{5}{3}\times\dfrac{\e^{5x}}{5x - \frac{10}{3}}\\
& = \dfrac{5}{3}\times\dfrac{\e^{5x}}{5x\left(1 - \frac{10}{3\times5x}\right)}\\
& = \dfrac{5}{3}\times\dfrac{\e^{5x}}{5x}\times\dfrac{1}{1-\frac{2}{3x}}.
\end{align*}
\begin{itemize}
\item $\limite{x}{+\infty}{\left(\dfrac{\e^{5x}}{5x}\right)}=\limite{X}{+\infty}{\dfrac{\e^X}{X}}=+\infty$ en posant $X=5x$;
\item $\limite{x}{+\infty}{\left(1-\dfrac{2}{3x}\right)}=1$;
\item $\dfrac{5}{3}>0$.
\end{itemize}
Ainsi, par produit des limites, on en déduit que:
\[
\boxed{ \limite{x}{+\infty}{\left(\dfrac{\e^{5x}}{3x-2}\right)} = +\infty }
\]

\item $\limite{x}{-\infty}{(x+5)\e^{2x}}$.

\medskip

On va tenter de faire apparaître la croissance comparée $\limite{x}{-\infty}{\left(x\e^x\right)}=0$.
\begin{align*}
(x+5)\e^{2x} & = \left(\dfrac{1}{2}\times{\color{red}2x}+5\right)\e^{\color{red}2x}\\
& = \dfrac{1}{2}\times2x\e^{2x}+5\e^{2x}.
\end{align*}
\begin{itemize}
\item $\limite{x}{-\infty}{\left(2x\e^{2x}\right)}=\limite{X}{-\infty}{\left(X\e^X\right)}=0$, avec $X=2x$;
\item $\limite{x}{-\infty}{\left(5\e^{2x}\right)}=0$ car $\limite{x}{-\infty}{\e^x}=0$.
\end{itemize}
Ainsi, par somme des limites,
\[
\boxed{ \limite{x}{-\infty}{\Big[(x+5)\e^{2x}\Big]} = 0  }
\]

\item $\limite{x}{+\infty}{\left(\sqrt{x^2+1}\e^{-x}\right)}$.
\begin{align*}
\sqrt{x^2+1}\e^{-x} & = \dfrac{\sqrt{x^2+1}}{\e^x}\\
& = \dfrac{\sqrt{x^2\left( 1 + \frac{1}{x^2} \right)}}{\e^x},\quad x>0\\
& = \dfrac{x\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}{\e^x},\quad x>0\\
& = \dfrac{x}{\e^x}\times\sqrt{1+\dfrac{1}{x^2}},\quad x>0.
\end{align*}
\begin{itemize}
\item $\limite{x}{+\infty}{\left(\dfrac{x}{\e^x}\right)}=0$.
\item $\limite{x}{+\infty}{\sqrt{1+\dfrac{1}{x^2}}}=\sqrt1=1$.
\end{itemize}
Ainsi, par produit des limites,
\[
\boxed{ \limite{x}{+\infty}{\big(\sqrt{x^2+1}\e^{-x}\big)} = 0 }
\]

\item $\limite{x}{+\infty}{\Big[\big(3-\sqrt{x}\big)\e^{-\sqrt{x}}\Big]}$.
\begin{align*}
\big(3-\sqrt{x}\big)\e^{-\sqrt{x}} & = 3\e^{-\sqrt{x}}-\sqrt{x}\e^{-\sqrt{x}}.
\end{align*}
\begin{itemize}
\item $\limite{x}{+\infty}{\left(3\e^{-\sqrt{x}}\right)}=\limite{X}{-\infty}{\left(3\e^X\right)}=0$ en posant $X=-\sqrt{x}$;
\item $\limite{x}{+\infty}{\left(-\sqrt{x}\e^{-\sqrt{x}}\right)}=\limite{X}{-\infty}{\left(X\e^X\right)}=0$ avec $X=-\sqrt{x}$.
\end{itemize}
Ainsi, par somme des limites,
\[
\boxed{ \limite{x}{+\infty}{\Big[\big(3-\sqrt{x}\big)\e^{-\sqrt{x}}\Big]} = 0 }
\]
\end{enumerate}
