
\begin{enumerate}
\item $\limite[x<2]{x}{2}{\left(\dfrac{3x-5}{x-2}\right)}$.
\begin{itemize}
\item $\limite[x<2]{x}{2}{(3x-5)}=3\times2-5=1>0$
\item $\limite[x<2]{x}{2}{(x-2)}=0^-$ (car $x<2 \iff x-2<0$)
\end{itemize}
Or, $\limite[X<0]{X}{0}{\left(\dfrac{1}{X}\right)}=-\infty$ donc, par limite du quotient,
\[
\boxed{ \limite[x<2]{x}{2}{\left(\dfrac{3x-5}{x-2}\right)} = -\infty }
\]


\item $\limite[x>3]{x}{3}{\left(\dfrac{x-9}{x-3}\right)}$.
\begin{itemize}
\item $\limite[x>3]{x}{3}{(x-9)}=3-9=-6<0$
\item $\limite[x>3]{x}{3}{(x-3)}=0^+$ (car $x>3 \iff x-3>0$)
\end{itemize}
Or, $\limite[X>0]{X}{0}{\left(\dfrac{-6}{X}\right)}=-\infty$ donc, par limite du quotient,
\[
\boxed{ \limite[x>3]{x}{3}{\left(\dfrac{x-9}{x-3}\right)} = -\infty }
\]

\item $\limite[x<5]{x}{5}{\left(\dfrac{x^2+x+1}{2x^2-9x-5}\right)}$.

\begin{itemize}
\item $\limite[x<5]{x}{5}{(x^2+x+1)}=5^2+5+1=31>0$
\item Remarquons que les racines de $2x^2-9x-5$ sont $-\dfrac{1}{2}$ et 5.

Par conséquent, $\limite[x<5]{x}{5}{(2x^2-9x-5)}=0^-$ ($2x^2-9x-5$ est négatif entre ses racines).
\end{itemize}
Ainsi,
\[
\boxed{ \limite[x<5]{x}{5}{\left(\dfrac{x^2+x+1}{2x^2-9x-5}\right)} = -\infty }
\]

\item $\limite[x>1]{x}{1}{\left(\dfrac{3x^2-5x+2}{x^2+8x-9}\right)}$.
\begin{itemize}
\item $\limite[x>1]{x}{1}{(3x^2-5x+2)}=0$
\item $\limite[x>1]{x}{1}{(x^2+8x-9)}=0$
\end{itemize}
Par conséquent, \og 1 \fg{} est une racine du numérateur et du dénominateur. On peut alors écrire:
\[
\dfrac{3x^2-5x+2}{x^2+8x-9}  = \dfrac{(x-1)(3x-2)}{(x-1)(x+9)} = \dfrac{3x-2}{x+9}.
\]
Ainsi,
\[
\boxed{ \limite[x>1]{x}{1}{\left(\dfrac{3x^2-5x+2}{x^2+8x-9}\right)} = \limite[x>1]{x}{1}{\left(\dfrac{3x-2}{x-9}\right)}=\dfrac{3\times1-2}{1+9}=\dfrac{1}{10} }
\]

\item $\limite[x>2]{x}{2}{\left(\dfrac{3x-5}{x^2+2x-8}\right)}$.
\begin{itemize}
\item $\limite[x>2]{x}{2}{(3x-5)}=3\times2-5=1>0$;
\item $\limite[x>2]{x}{2}{(x^2+2x-8)}=0^+$ ($x^2+2x-8>0$ à l'extérieur de ses racines $-4$ et $2$).
\end{itemize}
Ainsi,
\[
\boxed{ \limite[x>2]{x}{2}{\left(\dfrac{3x-5}{x^2+2x-8}\right)} = +\infty }
\]
\begin{rem}
Dans la mesure où $x^2+2x-8$ s'annule en $x_1=2$, on trouve la seconde racine à l'aide du produit des racines: $x_1x_2=\dfrac{c}{a}$ donc $2x_2=-8$, soit $x_2=-4$.
\end{rem}

\newpage

\item $\limite[x<-1]{x}{-1}{\left(\dfrac{2x^2+3x+1}{-5x^2-x+4}\right)}$
\begin{itemize}
\item $\limite[x<-1]{x}{-1}{(2x^2+3x+1)}=0$
\item $\limite[x<-1]{x}{-1}{(-5x^2-x+4)}=0$
\end{itemize}
Cela signifie que l'on peut factoriser par $x-(-1)=x+1$ au numérateur et au dénominateur:
\[
\dfrac{2x^2+3x+1}{-5x^2-x+4} = \dfrac{(x+1)(2x+1)}{(x+1)(4-5x)} = \dfrac{2x+1}{4-5x}\text{ pour }x\neq-1.
\]
Ainsi,
\[
\boxed{ \limite[x<-1]{x}{-1}{\left(\dfrac{2x^2+3x+1}{-5x^2-x+4}\right)} = \limite[x<-1]{x}{-1}{\left(\dfrac{2x+1}{4-5x}\right)} = -\dfrac{1}{9} }
\]
\end{enumerate}
