
\begin{enumerate}
\item $f'(x)=2ax+b-\dfrac{2dx}{\left(x^2+1\right)^2}$.

La condition $(2)$ permet d'écrire : $f'(-1)=0$, soit : \[ -2a+b+\frac{1}{2}d=0.\]
\item La condition $(1)$ permet d'écrire :

\begin{enumerate}
\item[$\blacktriangleright$] $A(-1;0)\in\mathcal{C}\Longrightarrow f(-1)=0 \Rightarrow a-b+c+\frac{1}{2}d=0$.
\item[$\blacktriangleright$] $B(0;1)\in\mathcal{C}\Longrightarrow f(0)=1 \Rightarrow c+d=1$.
\item[$\blacktriangleright$] $C(1;2)\in\mathcal{C}\Longrightarrow f(1)=2 \Rightarrow a+b+c+\frac{1}{2}d=2$.
\end{enumerate}

\item Nous avons alors le système suivant :
\[
\systeme{-2a+b+\frac{1}{2}d=0@E_{*},c+d=1,a-b+c+\frac{1}{2}d=0,a+b+c+\frac{1}{2}d=2}
\]
En faisant $(E_4)-(E_3)$, on arrive à l'équation : \[ (E_4)-(E_3)\quad :\quad 2b=2\]
Ainsi, \underline{$b=1$}, d'où le système suivant :
\[\systeme{-2a+\frac{1}{2}d=-1@E'_{*},c+d=1,a+c+\frac{1}{2}d=1} \]
En faisant $(E^\prime_3)-(E^\prime_2)$, on a :
\[ (E^\prime_3)-(E^\prime_2)\quad : \quad a-\frac{1}{2}d=0\]
Soit : \underline{$d=2a$}. L'équation $(E^\prime_1)$ est donc équivalente à :
\[-d+\frac{1}{2}d=-1 \]
Soit : $\underline{d=2}$ et donc $\underline{a=1}$.
L'équation $(E^\prime_2)$ donne alors : $c+2=1$, soit $\underline{c=-1}$.

\medskip

Finalement, on a : $\boxed{f(x)=x^2+x-1+\dfrac{2}{x^2+1}}$.
\end{enumerate}
