
\begin{enumerate}
\item $f(0)=6$ car $\mathcal{C}_f$ coupe l'axe des ordonnées en un point d'ordonnée égale à 6.

De plus, $f(0)=a\times 0^2+b\times 0+c=c$. Donc $c=6$.

\item $f'(x)=2ax+b$.

\item $f'(1)=-3$ car le coefficient directeur de $\mathcal{T}_1$ est égal à $-3$.

$f'(-1)=1$ car le coefficient directeur de $\mathcal{T}_{-1}$ est égal à $1$.

$f'(1)=2a+b=-3$ et $f'(-1)=-2a+b=1$. D'où :
\[
\begin{cases}
2a+b=-3\\
-2a+b=1
\end{cases} \Longrightarrow (2a+b)+(-2a+b)=-3+1 \Longrightarrow 2b=-2 \Longrightarrow b=-1.
\]
alors,
\[
2a+b=-3 \Longrightarrow 2a+(-1)=-3 \Longrightarrow2a=-3+1=-2 \Longrightarrow a=-1.
\]

\item L'équation $f(x)=0$ admet pour solutions $-3$ et $2$. En effet, $\mathcal{C}_f$ coupe l'axe des abscisses en deux points d'abscisses respectives $-3$ et $2$.

$f(x)=-x^2-x+6$ donc son discriminant est :
\begin{align*}
\Delta & = b^2-4ac = (-1)^2-4\times(-1)\times 6 = 25,
\end{align*}
d'où deux racines :
\[
x_1 =\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{1-5}{-2}=\frac{-4}{-2}=2\quad\text{et}\quad x_2 =\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{1+5}{-2}=\frac{6}{-2}=-3.
\]
\end{enumerate}
