
\medskip

\partie{A}
\begin{enumerate}
\item $\begin{aligned}[t]
u'(x) & = 1 \times \sqrt{1+x} + (x-1)\times\dfrac{1}{2\sqrt{1+x}}\\
& = \sqrt{1+x} + \dfrac{x-1}{2\sqrt{1+x}}\\
& = \dfrac{\big( \sqrt{1+x} \times 2\sqrt{1+x}\big) +x-1}{2\sqrt{1+x}}\\
& = \dfrac{2(1+x)+x-1}{2\sqrt{1+x}}\\
& = \dfrac{2+2x+x-1}{2\sqrt{1+x}}\\
& = \boxed{\dfrac{3x+1}{2\sqrt{1+x}}}
\end{aligned}$

\item Sur \intervFF{0}{\frac{1}{2}}, $3x+1)>0$ donc $u$ est strictement croissante.

De plus, $u(0) = 1 + (0-1)\sqrt{1+0} = 1 - 1 = 0$.

On en déduit alors que $u(x) \geqslant 0$ sur \intervFF{0}{\frac{1}{2}}.
\end{enumerate}

\bigskip

\partie{B}

\begin{enumerate}
\item $\begin{aligned}[t]
d'(x) & = f'(x) - g'(x)\\
& = \dfrac{1}{2\sqrt{1+x}} - \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}x\\
& = \dfrac{1}{2\sqrt{1+x}} - \dfrac{\sqrt{1+x}}{2\sqrt{1+x}} + \dfrac{x\sqrt{1+x}}{2\sqrt{1+x}}\\
& = \dfrac{1-\sqrt{1+x}+x\sqrt{1+x}}{2\sqrt{1+x}}\\
& = \dfrac{1+(x-1)\sqrt{1+x}}{2\sqrt{1+x}}\\
& = \boxed{\dfrac{u(x)}{2\sqrt{1+x}}}
\end{aligned}$

\item $d'(x)$ est du signe de $u(x)$ sur \intervFF{0}{\frac{1}{2}} car $2\sqrt{1+x}>0$.

D'après la partie A, $u(x) \geqslant 0$ sur \intervFF{0}{\frac{1}{2}} donc $d'(x) \geqslant 0$.

Ainsi, $d$ est croissante sur \intervFF{0}{\frac{1}{2}}.

\medskip

On a : $d(0) = f(0) - g(0) = 1 - 1 = 0$ et $d\left(\dfrac12\right) = f\left(\dfrac{1}{2}\right)-g\left(\dfrac{1}{2}\right)=\sqrt{\dfrac{3}{2}}-\dfrac{19}{16}$.

On a le tableau suivant:

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit%
[deltacl=1,color,colorL=corrigenumbg!10,colorC=corrigenumbg!10,colorV=corrigenumbg!10]%
{$x$/0.5,$d(x)$/1.5}{0,$\tfrac{1}{2}$}
\tkzTabVar{-/0,+/{$\sqrt{\tfrac{3}{2}}-\tfrac{19}{16}$}}
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item Les variations de $d$ nous suggèrent qu'en approximant $f(x)$ par $g(x)$ pour $x\in\intervFF{0}{\dfrac{1}{2}}$, l'erreur commise est inférieure ou égale à $\sqrt{\dfrac{3}{2}}-\dfrac{19}{16}$, soit inférieure à 0,04.

\item $\begin{aligned}[t]
\sqrt{4,5} & = \sqrt{4+0,5}\\
& = \sqrt{4\left( 1+\dfrac{0,5}{4} \right)}\\
& = \sqrt4 \times \sqrt{1+\dfrac{1}{8}}\\
& = 2\sqrt{1+\dfrac{1}{8}}\\
& = 2f\left(\dfrac{1}{8}\right)\\
& \approx 2g\left(\dfrac{1}{8}\right)\\
& \approx 2 \times \left[ 1 + \dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{8} - \dfrac{1}{4}\times\dfrac{1}{8^2} \right]\\
& \approx2 + \dfrac{1}{8} - \dfrac{1}{128}\qquad\textcolor{red}{\rightarrow\quad-\dfrac{1}{128}=\dfrac{0,5}{64}=\dfrac{0,25}{32}=\cdots=0,0078125}\\
& \approx 2 + 0,125 - 0,0078125\\
& \approx 2,117.
\end{aligned}$

\medskip

À la calculatrice, on trouve $\sqrt{4,5}\approx2,121$. La marge d'erreur est alors d'environ 0,004 avec la valeur trouvée avec $g$.
\end{enumerate}
