
\medskip

$f=\dfrac{1}{g}$ avec $g(x)=\e^{x^2}-1$.

De plus, $g = \e^u-1$ avec $u(x)=x^2$ et $u'(x)=2x$, donc:
\[
g'(x) = u'(x) \e^{u(x)} = 2x\e^{x^2}.
\]
Ainsi,
\begin{align*}
f'(x) & = -\dfrac{g'(x)}{\big[g(x)\big]^2}  = - \dfrac{2x\e^{x^2}}{\big( \e^{x^2} - 1 \big)^2}.
\end{align*}
Ainsi, $f'(x)$ est du signe de $-x$, car $\e^{x^2}>0$ et $\big(\e^{x^2}-1\big)^2>0$ sur \R*.

D'où le tableau suivant:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node[inner sep = 0pt, outer sep = 0pt] (tab) {
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=3,color,colorL=corrigenumbg!10,colorC=corrigenumbg!10,colorV=corrigenumbg!10]{$x$/0.5,$f'(x)$/0.5,$f$/1}{$-\infty$,$0$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,+,d,-,}
\tkzTabVar{-/,+D+/ /,-/}
\end{tikzpicture}};
\drawshadow{tab}{black}
\end{tikzpicture}
\end{center}

