
$f=\sqrt{g}$ avec $g(x)=\dfrac{\e^x-1}{\e^x+1}=\dfrac{u(x)}{v(x)}$, où:
\[
\begin{array}{ll}
u(x) = \e^x-1 & \qquad v(x)=\e^x+1\\
u'(x)=\e^x & \qquad v'(x)=\e^x
\end{array}
\]
Alors,
\begin{align*}
g'(x) & = \dfrac{u'v-v'u}{v^2}(x)\\
      & = \dfrac{\e^x(\e^x+1) - \e^x(\e^x-1)}{(\e^x+1)^2}\\
      & = \dfrac{\e^x(\e^x+1-\e^x+1)}{(\e^x+1)^2}\\
      & = \dfrac{2\e^x}{(\e^x+1)^2}.
\end{align*}
Ainsi,
\begin{align*}
f'(x) & = \dfrac{g'(x)}{2\sqrt{g(x)}}\\
      & = \dfrac{\frac{2\e^x}{(\e^x+1)^2}}{2\sqrt{\frac{\e^x-1}{\e^x+1}}}\\
      & = \dfrac{\e^x}{(\e^x+1)^2\sqrt{\frac{\e^x-1}{\e^x+1}}}.
\end{align*}
Inutile d'aller plus loin quand notre objectif est de trouver le signe de $f'(x)$.

En effet, on constate que sur \intervFO{0}{+\infty},
\begin{itemize}
\item $2\e^x>0$
\item $(\e^x+1)^2\sqrt{\frac{\e^x-1}{\e^x+1}}>0$
\end{itemize}
 donc $f'(x)>0$, et donc $f$ est strictement croissante sur $\intervFO{0}{+\infty}$.
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