
\begin{itemize}
\item $\limite{x}{0}{\big(\e^x-1\big)}=\e^0-1=1-1=0$.
\item $\limite{x}{0}{\big(\e^{2x}-1\big)}=\e^0-1=1-1=0$.
\end{itemize}
On a donc une forme indéterminée du type \og $\dfrac{0}{0}$ \fg{} donc on pense à faire apparaître un ou plusieurs taux d'accroissement.
\[
\dfrac{\e^x-1}{\e^{2x}-1} = \dfrac{\e^x-1}{x-0} \times \dfrac{x-0}{\e^{2x}-1}.
\]
\begin{itemize}
\item $\limite{x}{0}{\left(\dfrac{\e^x-1}{x-0}\right)} = \limite{x}{0}{\left(\dfrac{u(x)-u(0)}{x-0}\right)}=u'(0)=\e^0=1$ avec $u(x)=\e^x$ et donc $u'(x)=\e^x$;
\item $\limite{x}{0}{\left(\dfrac{x-0}{\e^{2x}-1}\right)}=\limite{x}{0}{\left(\dfrac{x-0}{v(x)-v(0)}\right)}=\dfrac{1}{v'(0)}=\dfrac{1}{2\e^0}=\dfrac{1}{2}$ avec $v(x)=\e^{2x}$ et donc $v'(x)=2\e^{2x}$.
\end{itemize}
On en déduit alors que:
\[
\boxed{ \limite{x}{0}{\left(\dfrac{\e^x-1}{\e^{2x}-1}\right)} = \dfrac{1}{2} }
\]
\begin{methode}
On aurait pu aussi utiliser la \textit{règle de l'Hospital} vue dans l'exercice précédent, mais elle n'est pas au programme...
\end{methode}
