
\begin{enumerate}
\item \raisebox{-5mm}{$\left.\begin{array}{l}
\limite{x}{0}{\big[\ln(x)\big]}=-\infty\\[1.5em]
\limite{x}{0}{(2x+1)} = 1
\end{array}\right\} \Longrightarrow\text{ (par quotient des limites) } \boxed{ \limite{x}{0}{\big[f(x)\big]} = -\infty}$}

\medskip

Ce résultat signifie que la courbe représentative de $f$ admet une asymptote (verticale)  d'équation $x=0$.

\item On a:
\[
f(x) = \dfrac{\ln(x)}{2x+1}  = \dfrac{\ln(x)}{x} \times \dfrac{x}{2x+1}.
\]
Or, par croissance comparée,
\[
\limite{x}{+\infty}{\left( \dfrac{\ln(x)}{x} \right)} = 0
\]
et:
\[
\limite{x}{+\infty}{\left( \dfrac{x}{2x+1} \right)} = \limite{x}{+\infty}{\left( \dfrac{x \times 1}{ x\left( 2+\frac{1}{x} \right)} \right)} = \limite{x}{+\infty}{\left( \dfrac{1}{2+\frac{1}{x}} \right)} = \dfrac{1}{2}.
\]
Ainsi, par produit des limites,
\[
\boxed{ \limite{x}{+\infty}{\big[f(x)\big]} = 0 }
\]
Ce résultat signifie que la courbe représentative de $f$ admet une asymptote (horizontale)  d'équation $y=0$ au voisinage de $+\infty$.
\end{enumerate}
