
\begin{enumerate}
\item $f_1(x)=x\ln(x)-x$.

La fonction $x \mapsto x\ln(x)$ est de la forme $uv$ avec :
\[
\begin{array}{l@{\qquad;\qquad}l}
u(x)=x & u'(x)=1\\
v(x)=\ln(x) & v'(x)=\dfrac{1}{x}
\end{array}
\]
donc sa dérivée est :
\[
(u'v+uv')(x)=1\times\ln(x) + x\times\dfrac{1}{x}=\ln(x)+1.
\]
Ainsi,
\[
f_1^\prime(x)=\ln(x)+1-1\qquad\text{soit}\qquad \boxed{f_1^\prime(x)=\ln(x)}
\]
$f_1^\prime(x)=\ln x$.

\bigskip

\item $f_2(x)=\dfrac{\ln(x)}{x}$ donc $f_2$ est de la forme $\dfrac{u}{v}$ avec :
\[
\begin{array}{l@{\qquad;\qquad}l}
u(x)=\ln(x) & u'(x)=\dfrac1 x\\[1.5em]
v(x)=x & v'(x)=1
\end{array}
\]
donc :
\begin{align*}
f_2^\prime(x) & = \left(\dfrac{u'v-uv'}{v^2}\right)(x)\\[1em]
& = \dfrac{\frac{1}{x}\times x - \ln(x) \times 1}{x^2}\\[1em]
\Aboxed{f_2^\prime(x) & = \dfrac{1 - \ln(x)}{x^2}}
\end{align*}

\item $f_3(x)=\ln\left(x^2\right)$ donc $f_3$ est de la forme $\ln(u)$, avec
\[
u(x)=x^2 \qquad \text{et}\qquad u'(x)=2x.
\]
Donc:
\begin{align*}
f_3^\prime(x) & = \left(\dfrac{u'}{u}\right)(x)\\
& = \dfrac{2x}{x^2}\\
\Aboxed{f_3^\prime(x) & = \dfrac{2}{x}}
\end{align*}

\item $f_4(x)=\ln\big(\sqrt{x+1}\big)$ donc $f_4$ est de la forme $\ln(u)$ avec $u(x)=\sqrt{x+1}$.

$u$ est de la forme $\sqrt g$, avec $g(x)=x+1$ donc $u'(x)=\dfrac{g'}{2\sqrt g}=\dfrac{1}{2\sqrt{x+1}}$.

Ainsi,
\begin{align*}
f_4^\prime(x) & = \left(\dfrac{u'}{u}\right)(x)\\
& = \dfrac{\frac{1}{2\sqrt{x+1}}}{\sqrt{x+1}}\\
\Aboxed{f_4^\prime(x) & = \dfrac{1}{2(x+1)}}
\end{align*}

\item $f_5(x)=\dfrac{\ln\left(x^2+1\right)}{x^2+1}$ donc $f_5$ est de la forme $\dfrac{u}{v}$ avec :
\[
u(x)=\ln\big(x^2+1\big)\qquad\text{et}\qquad v(x)=x^2+1.
\]
$u$ est de la forme $\ln(g)$, avec $g(x)=x^2+1$ donc :
\[
u'(x)=\left(\dfrac{u'}{u}\right)(x)=\dfrac{2x}{x^2+1}.
\]
Ainsi,
\begin{align*}
f_5^\prime(x) & = \left(\dfrac{u'v-v'u}{v^2}\right)(x)\\[8pt]
& = \dfrac{\frac{2x}{x^2+1}\times(x^2+1)-2x \times \ln\big(x^2+1\big)}{\big(x^2+1\big)^2}\\[8pt]
& = \dfrac{2x-2x\ln(x^2+1)}{(x^2+1)^2}\\[8pt]
\Aboxed{f_5^\prime(x) & = \dfrac{2x\big[1-\ln(x^2+1)\big]}{(x^2+1)^2}}
\end{align*}

\vspace*{2cm}

\item $f_6(x)=\ln\big[\ln(x)\big]$ donc $f_6$ est de la forme $\ln(u)$ avec :
\[
u(x)=\ln(x) \qquad\text{et}\qquad u'(x)=\dfrac{1}{x}.
\]
Donc:
\begin{align*}
f_6^\prime(x) & = \left(\dfrac{u'}{u}\right)(x)\\[8pt]
& = \dfrac{\frac{1}{x}}{\ln(x)}\\[8pt]
\Aboxed{f_6^\prime(x)& = \dfrac{1}{x\ln(x)}}
\end{align*}
\end{enumerate}
