
\begin{itemize}
\item \textbf{Parité de la fonction.}

\medskip

$f(-x)=f(x)$ et le domaine de définition de $f$ est centré en 0.


La fonction $f$ est donc paire. On peut donc l'étudier sur \intervFO{0}{+\infty}.

\item \textbf{Calculs des limites en $\boldmath{+\infty}$.}
\[
\begin{rcases*}
\limite{x}{+\infty}{\left(x^2+1\right)}=+\infty\\
\limite{X}{+\infty}{\dfrac{\ln(X)}{X}}=0
\end{rcases*}\Rightarrow\boxed{\limite{x}{+\infty}{f(x)}=0}
\]
De plus,
\[
f(0)=\dfrac{\ln(1)}{1}=0.
\]


\item \textbf{Calcul de la dérivée.}

\medskip

$f(x)=\dfrac{\ln\left(x^2+1\right)}{x^2+1}$ donc $f$ est de la forme $\dfrac{u}{v}$ avec :
\[
u(x)=\ln\big(x^2+1\big)\qquad\text{et}\qquad v(x)=x^2+1.
\]
$u$ est de la forme $\ln(g)$, avec $g(x)=x^2+1$ donc :
\[
u'(x)=\left(\dfrac{u'}{u}\right)(x)=\dfrac{2x}{x^2+1}.
\]
Ainsi,
\begin{align*}
f^\prime(x) & = \left(\dfrac{u'v-v'u}{v^2}\right)(x)\\[8pt]
& = \dfrac{\frac{2x}{x^2+1}\times(x^2+1)-2x \times \ln\big(x^2+1\big)}{\big(x^2+1\big)^2}\\[8pt]
& = \dfrac{2x-2x\ln(x^2+1)}{(x^2+1)^2}\\[8pt]
\Aboxed{f^\prime(x) & = \dfrac{2x\big[1-\ln(x^2+1)\big]}{(x^2+1)^2}}
\end{align*}

\item \textbf{Sens de variation de la fonction.}

\medskip

Sur \intervFO{0}{+\infty},
\begin{itemize}
\item $2x>0$
\item $(x^2+1)^2 > 0$
\end{itemize}
donc $f'(x)$ est du signe de $1-\ln\left(x^2+1\right)$.
\begin{align*}
1-\ln\left(x^2+1\right)>0 & \iff\ln\left(x^2+1\right)<1\\
&\iff x^2+1< \e^1\\
&\iff x^2<\e-1\\
&\iff 0<x<\sqrt{\e-1}.
\end{align*}
De plus,
\begin{align*}
f\left(\sqrt{\e-1}\right) & = \dfrac{\ln(\e-1+1)}{\e-1+1}\\
& = \dfrac{1}{\e}\\
& = \e^{-1}
\end{align*}

On obtient alors le tableau de variations suivant (en utilisant la symétrie d'axe des ordonnées):

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node[inner sep = 0pt, outer sep = 0pt] (tab) {
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[color,colorL=corrigepage!10,colorC=corrigepage!10,colorV=corrigepage!10]{$x$/0.7,$f'(x)$/0.5,$f(x)$/1.5}{$-\infty$,$-\sqrt{\e-1}$,0,$\sqrt{\e-1}$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,+,0,-,0,+,0,-}
\tkzTabVar{-/0,+/$\e^{-1}$,-/0,+/$\e^{-1}$,-/0}
\end{tikzpicture}};
\drawshadow{tab}{black}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{itemize}

La courbe représentative de la fonction $f$ est donnée ci-dessous à titre indicatif.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node[inner sep = 0pt, outer sep = 0pt, fill = white] (img) {
\begin{tikzpicture}[yscale=10]
\clip (-8,-0.035) rectangle (8,0.41);
\draw[gray!50] (-8,0) grid[ystep=0.1] (8,0.5);
\draw[->,>=stealth',thick] (-8,0) -- (8,0);
\draw[->,>=stealth',thick] (0,0) -- (0,0.5);
\draw[very thick,violet] plot[domain=-8:8,samples=100] (\x,{(ln(\x*\x+1))/(\x*\x+1)});
\foreach\x in {-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7}
{
	\draw[thick] (\x,0.01) -- (\x,-0.01) node[below] {\x};
}
\foreach\y in {1,2,3,4}
{
	\draw[thick] (0.1,{\y/10}) -- (-0.1,{\y/10}) node[left] {0,\y};
}
\end{tikzpicture}};
\drawshadow{img}{black}
\end{tikzpicture}
\end{center}
