
\begin{enumerate}
\item Afin que $f(x)$ existe, il faut que:
\[
1+\dfrac{1}{x}>0  \iff \dfrac{x+1}{x}>0.
\]
Dressons le tableau de signes de ce dernier quotient (voir page suivante).
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node[inner sep = 0pt, outer sep = 0pt] (tab) {
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[color,colorL=corrigepage!10,colorC=corrigepage!10,colorV=corrigepage!10]{$x$/0.5,$x+1$/0.5,$x$/0.5,$\dfrac{x+1}{x}$/1}{$-\infty$,$-1$,0,$+\infty$}
\tkzTabLine{,-,z,+,,+}
\tkzTabLine{,-,,-,z,+}
\tkzTabLine{,+,z,-,z,+}
\end{tikzpicture}};
\drawshadow{tab}{black}
\end{tikzpicture}
\end{center}
Ainsi,
\[
\dfrac{x+1}{x}>0 \iff x\in \intervOO{-\infty}{-1}\cup\intervOO{0}{+\infty}.
\]
Le domaine de définition de $f$ est donc:
\[
\mathcal{D}_f=\intervOO{-\infty}{-1}\cup\intervOO{0}{+\infty}.
\]

\item $f=\ln(u)$, avec $u(x)=1+\dfrac{1}{x}$ et $u'(x)=-\dfrac{1}{x^2}$. Ainsi,
\begin{align*}
f'(x) & = \dfrac{u'(x)}{u(x)}\\
      & = \dfrac{-\frac{1}{x^2}}{1+\frac{1}{x}}\\
\Aboxed{f'(x) & = \dfrac{-1}{x^2\left(1+\frac{1}{x}\right)} }
\end{align*}

Sur $\mathcal{D}_f$, $1+\dfrac{1}{x}>0$ et $x^2>0$ donc $f'(x)<0$.

Ainsi, $f$ est strictement décroissante sur \intervOO{-\infty}{-1} et sur \intervOO{0}{+\infty}.

\item
\begin{itemize}
\item \textbf{Limites aux infinis.}

\medskip

$\limite{x}{-\infty}{\left(\dfrac{1}{x}\right)}=0$ donc $\limite{x}{-\infty}{\left[ \ln\left(1+\dfrac{1}{x}\right) \right]}=\ln(1)=0$.

\medskip

De même, $\limite{x}{+\infty}{f(x)}=0$.

\bigskip

\item \textbf{Limite en $\boldmath{-1}$.}

\medskip

$\limite[x<-1]{x}{-1}{\left(\dfrac{1}{x}\right)}=-1$ et $\limite[x<-1]{x}{-1}{\left(1+\dfrac{1}{x}\right)}=0^+$. Ainsi, $\limite{x}{-1}{f(x)}=-\infty$.

\bigskip

\item \textbf{Limite en 0.}

\medskip
$\limite[x>0]{x}{0}{\left( \dfrac{1}{x} \right) }=+\infty$ donc $\limite{x}{0}{f(x)}=+\infty$.
\end{itemize}

On en déduit le tableau de variations suivant:

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node[inner sep = 0pt, outer sep = 0pt] (tab) {
\begin{tikzpicture}
\tikzset{h style/.style ={pattern=north west lines,pattern color=corrigepage!20}}
\tkzTabInit[color,colorL=corrigepage!10,colorC=corrigepage!10,colorV=corrigepage!10]{$x$/0.5,$f(x)$/1}{$-\infty$,$-1$,0,$+\infty$}
\tkzTabVar{+/0,-DH/$-\infty$,D+/$+\infty$,-/0}
\end{tikzpicture}};
\drawshadow{tab}{black}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{enumerate}
