
\begin{enumerate}
\item Pour $n=0$, $u_0=5\e\approx13,59\geqslant5$ donc l'initialisation est faite.

Supposons que pour un entier $k$ fixé, $u_k\geqslant5$.

Alors, $5u_k\geqslant25$ et $\sqrt{5u_k}\geqslant5$, soit $u_{k+1}\geqslant5$.

L'hérédité est alors vérifiée; ainsi, pour tout entier naturel $n$, on a bien $u_n\geqslant5$.

\item Pour tout entier naturel $n$, on a :
\begin{align*}
u_{n+1}-u_n & = \sqrt{5u_n}-u_n\\
& = \dfrac{\big(\sqrt{5u_n}-u_n\big)\big(\sqrt{5u_n}+u_n\big)}{\sqrt{5u_n}+u_n}\\
& = \dfrac{5u_n-u_n^2}{\sqrt{5u_n}+u_n}\\
& =\dfrac{u_n(5-u_n)}{\sqrt{5u_n}+u_n}\\
& \leqslant0\text{ car $u_n\geqslant5$ d'après la question précédente}.
\end{align*}
Ainsi, \suite{u}{n}{n\in\N} est strictement décroissante.

\item La suite \suite{u}{n}{n\in\N} est minorée (par 5) et décroissante, donc elle converge.

\item
\begin{enumerate}
\item $\begin{aligned}[t]
v_{n+1} & = \ln(u_{n+1})-\ln5\\
& = \ln\sqrt{5u_n}-\ln5\\
& = \dfrac{1}{2}\ln(5u_n)-\ln5\\
& = \dfrac{1}{2}\big(\ln5+\ln(u_n)\big)-\ln5\\
& = \dfrac{1}{2}\ln(u_n)-\dfrac{1}{2}\ln5\\
& = \dfrac{1}{2}\big(\ln(u_n)-\ln5\big)\\
& = \dfrac{1}{2}v_n.
\end{aligned}$

\medskip

Ainsi, \suite{v}{n}{n\in\N} est une suite géométrique de raison $q=\dfrac{1}{2}$ et de premier terme :
\[
v_0=\ln(u_0)-\ln(5)=\ln(5\e)-\ln(5)=\ln(5)+\ln(\e)-\ln(5)=\ln(\e)=1.
\]
\item $v_n=v_0\times q^n=\dfrac{1}{2^n}$ car \suite{v}{n}{n\in\N} est géométrique.

De plus,
\begin{align*}
v_n=\ln(u_n)-\ln(5) & \iff \ln(u_n)=v_n+\ln(5)\\
& \iff u_n=\e^{v_n+\ln(5)}\\
& \iff u_n=\e^{v_n}\times\e^{\ln(5)}\\
& \iff \boxed{u_n= 5\e^{\frac{1}{2^n}}}
\end{align*}

\item $\limite{n}{+\infty}{\left(\dfrac{1}{2^n}\right)}=0$ donc $\limite{n}{+\infty}{(u_n)}=5\e^0=5$.
\end{enumerate}

\item D'après la question précédente,
\begin{align*}
P_n & = \dfrac{\overbrace{u_0 \times u_1 \times u_2 \times \cdots \times u_n}^{\textcolor{red}{(n+1)\text{ facteurs}}}}{5^n}\\
& = \dfrac{5\e^{v_0} \times 5\e^{v_1} \times 5\e^{v_2} \times \cdots \times 5\e^{v_n}}{5^n}\\
& = \dfrac{5^{\color{red}n+1}\e^{v_0+v_1+v_2+\cdots+v_n}}{5^n}\\
& =5\e^{v_0+v_1+v_2+\cdots+v_n}.
\end{align*}

\suite{v}{n}{n\in\N} étant géométrique,
\[
v_0+v_1+v_2+\cdots+v_n = v_0 \times \dfrac{1-q^{n+1}}{1-q} = \dfrac{1-\frac{1}{2^{n+1}}}{1-\frac{1}{2}}=2\left(1-\frac{1}{2^{n+1}}\right).
\]
Ainsi,
\[
P_n = 5\e^{2\left(1-\frac{1}{2^{n+1}}\right)}.
\]
Or, $\limite{n}{+\infty}{\left(\dfrac{1}{2^{n+1}}\right)}=0$ donc :
\[
\boxed{\limite{n}{+\infty}{(P_n)}=5\e^2}
\]
\end{enumerate}
