
\begin{enumerate}
\item Un programme possible est le suivant:

\begin{python}
from math import log
u = 1
for n in range(50):
    u = log(1 + 1/u)
    print(u)
\end{python}

\item Les derniers termes affichés sont :
\begin{console}
0.8064660055835747
0.8064659864474527
0.8064659995826947
0.8064659905665218
0.8064659967553208
0.8064659925072619
0.8064659954231757
\end{console}

\bigskip

On peut ainsi conjecturer que la suite converge vers une limite dont une valeur approchée est 0,806.

\newpage

\item Montrons que $v_n\leqslant1$ pour tout entier naturel $n$.
\begin{itemize}
\item Initialisation : $v_0=u_0=1\leqslant1$.
\item Hérédité : supposons que pour un entier $k$ fixé, $v_k \leqslant1$. Alors,
\begin{align*}
v_k \leqslant 1  & \iff u_{2k} \leqslant 1\\
& \iff \dfrac{1}{u_{2k}} \geqslant 1\\
& \iff 1+\dfrac{1}{u_{2k}} \geqslant 2\\
& \iff \ln\left(1+\dfrac{1}{u_{2k}}\right) \geqslant \ln 2\\
& \iff u_{2k+1} \geqslant \ln 2\\
& \iff \dfrac{1}{u_{2k+1}} \leqslant \dfrac{1}{\ln 2}\\
& \iff 1+\dfrac{1}{u_{2k+1}} \leqslant 1+\dfrac{1}{\ln2}
\end{align*}

\begin{align*}
v_k \leqslant 1
& \iff \ln\left(1+\dfrac{1}{u_{2k+1}}\right) \leqslant \ln\left(1+\dfrac{1}{\ln2}\right)\\
& \iff u_{2k+2} \leqslant \ln\left(1+\dfrac{1}{\ln2}\right)<1\\
& \iff v_{k+1} \leqslant 1.
\end{align*}

L'hérédité est alors vérifiée.

\bigskip

Ainsi, pour tout entier naturel $n$, $v_n \leqslant 1$.
\end{itemize}

\item Posons $f\;:\;x\mapsto\ln\left(1+\dfrac{1}{x}\right)$.

Alors, $f = \ln(u)$, avec $u(x)=1+\dfrac{1}{x}$ et $u'(x)=-\dfrac{1}{x^2}$. Ainsi,
\[
f'(x) = \dfrac{-\frac{1}{x^2}}{1+\frac{1}{x}}.
\]
Inutile d'aller plus loin car $x>0$ donc $-\dfrac{1}{x^2}<0$ et $1+\dfrac{1}{x}>0$. Donc $f'(x)<0$.

Ainsi, $f$ est strictement décroissante sur \intervOO{0}{+\infty}.


\item Montrons que $(v_n)$ est décroissante par récurrence.
\begin{itemize}
\item $v_0=u_0=1$ et $v_1=u_2\approx0,89$ donc $v_1 < v_0$.
\item Supposons que pour un entier $k$ fixé, $v_{k+1} < v_k$.

Alors, $u_{2(k+1)} < u_{2k}$ et donc $f(u_{2(k+1)}) > f(u_{2k})$ (car $f$ est décroissante), soit :
\[
u_{2k+3} > u_{2k+1}.
\]
Donc $f(u_{2k+3}) < f(u_{2k+1})$, soit $u_{2k+4} < u_{2k+2}$, ou encore : $v_{k+2} < v_{k+1}$.

L'hérédité est donc vérifiée.
\end{itemize}

Ainsi, $(v_n)$ est décroissante.


\newpage

\item Montrons par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $w_n \leqslant v_n$.
\begin{itemize}
\item \textbf{Initialisation :} $v_0=1$ et $w_0\approx0,69\leqslant v_0$.
\item \textbf{Hérédité :} supposons que pour un entier $k$ fixé, $w_k \leqslant v_k$.
\begin{align*}
w_k \leqslant  v_k & \iff u_{2k+1} \leqslant  u_{2k} \\
& \iff f(u_{2k+1}) \geqslant f(u_{2k})  \quad \text{car $f$ est décroissante}\\
& \iff u_{2k+2} \geqslant u_{2k+1}\\
& \iff f(u_{2k+2}) \leqslant f(u_{2k+1})\\
& \iff u_{2k+3} \leqslant  u_{2k+2}\\
& \iff u_{2(k+1)+1} \leqslant  u_{2(k+1)}\\
& \iff w_{k+1} \leqslant  v_{k+1}.
\end{align*}
L'hérédité est alors démontrée.
\end{itemize}

Ainsi, pour tout entier naturel $n$, $w_n \leqslant  v_n$.

\item On démontre facilement (par récurrence encore) que $u_n>0$; en effet, $u_0>0$ et si $u_k>0$ alors $1+\dfrac{1}{u_k}>1$ et donc $\ln\left(1+\dfrac{1}{u_k}\right)>0$, soit $u_{k+1}>0$.

Ainsi, pour tout entier naturel $n$,
\[
0 < w_n \leqslant  v_n < 1.\tag{1}
\]
$(w_n)$ est croissante et majorée par 1, donc elle converge.

$(v_n)$ est décroissante et minorée par 0, donc elle converge.

\medskip

De plus,
\[
\limite{x}{+\infty}{(v_n)}=\limite{x}{+\infty}{(u_{2n})}
\]
et
\[
\limite{x}{+\infty}{(w_n)}=\limite{x}{+\infty}{(u_{2n+1})}
\]
donc $(u_n)$, $(v_n)$ et $(w_n)$ ont la même limite. Notons-là $\ell$.

\bigskip

La fonction $\ln$ étant continue sur \intervOO{0}{+\infty}, \[ \ell = \ln\left(1+\dfrac{1}{\ell}\right).\]
\end{enumerate}
