
\begin{enumerate}
\item $\ln(3x-4)=\ln(2x+1)$.
\begin{itemize}
\item {\bfseries Domaine de définition.}

Il faut que $\begin{cases}
3x-4>0\\2x+1>0\end{cases}$, soit $\begin{cases}x>\dfrac{4}{3}\\[10pt]x>-\dfrac{1}{2}\end{cases}$, donc que $x>\dfrac{4}{3}$.

Le domaine de définition de l'équation est donc $\mathcal{D}=\intervOO{\dfrac{4}{3}}{+\infty}$.

\item {\bfseries Résolution.}
\[
\ln(3x-4)=\ln(2x+1) \iff 3x-4=2x+1 \iff x=5.
\]
$5\in\mathcal{D}$ donc l'ensemble solution de l'équation est:
\[
\boxed{\mathcal{S}=\{5\}}
\]
\end{itemize}

\item $\ln(4-2x)=\ln(x-1)$.
\begin{itemize}
\item {\bfseries Domaine de définition.}

\bigskip

Il faut que $\begin{cases}
4-2x>0\\x-1>0\end{cases}$, soit $\begin{cases}x<2\\x>1\end{cases}$, donc que $1<x<2$.

Le domaine de définition de l'équation est donc $\mathcal{D}=\intervOO{1}{2}$.

\item {\bfseries Résolution.}
\[
\ln(4-2x)=\ln(x-1) \iff 4-2x=x-1 \iff 5=3x \iff x=\dfrac{5}{3}.
\]
$\dfrac{5}{3}\in\mathcal{D}$ donc l'ensemble solution de l'équation est:
\[
\boxed{\mathcal{S}=\left\{ \dfrac{5}{3} \right\}}
\]
\end{itemize}

\bigskip

\item $\ln(x^2+x+1)=\ln(x^2-2x+1)$.
\begin{itemize}
\item {\bfseries Domaine de définition.}

\medskip

Il faut que $\begin{cases}x^2+x+1>0\\x^2-2x+1>0\end{cases}$.

Or,
\begin{itemize}
\item le discriminant de $x^2+x+1$ est égal à $-3$ donc ce polynôme est toujours strictement positif.
\item De plus, $x^2-2x+1=(x-1)^2$ donc seul $x=1$ ne convient pas.
\end{itemize}
Le domaine de définition est donc $\mathcal{D}=\R\setminus\{1\}$.

\medskip

\item {\bfseries Résolution.}
\[
\begin{array}{lr@{\;}l}
     & \ln(x^2+x+1) & = \ln(x^2-2x+1)\\
\iff & x^2+x+1 & = x^2-2x+1\\
\iff & 3x & = 0\\
\iff & x & = 0.
\end{array}
\]

$0\in\mathcal{D}$ donc l'ensemble solution de l'équation est:
\[
\boxed{\mathcal{S}=\{0\}}
\]
\end{itemize}

\item $\ln(2x^2-10x+8)=\ln(3x^2-3x-18)$.
\begin{itemize}
\item {\bfseries Domaine de définition.}

\medskip

Il faut que $\begin{cases}2x^2-10x+8>0\\3x^2-3x-18>0\end{cases}$.

\begin{itemize}
\item Le discriminant de $2x^2-10x+8$ est:
\[
\Delta_1=100-64=36
\]
donc il admet deux racines réelles qui sont :
\[
\dfrac{10-6}{4}=1 \qquad \text{et}\qquad \dfrac{10+6}{4}=4.
\]
Le polynôme $2x^2-10x+8$ est donc strictement positif sur $\intervOO{-\infty}{1}\cup\intervOO{4}{+\infty}$.

\medskip

\item Le discriminant de $3x^2-3x-18$ est:
\[
\Delta_2=9+216=225
\]
donc il admet deux racines réelles qui sont:
\[
\dfrac{3-15}{6}=-2\qquad\text{ et }\qquad\dfrac{3+15}{6}=3.
\]
Le polynôme $3x^2-3x-18$ est donc strictement positif sur $\intervOO{-\infty}{-2}\cup\intervOO{3}{+\infty}$.
\end{itemize}

\medskip

Le domaine de définition est donc:
\[
\mathcal{D}=\intervOO{-\infty}{-2}\cup\intervOO{4}{+\infty}.
\]

\item {\bfseries Résolution.}
\[
\begin{array}{lr@{\;}l}
     & \ln(2x^2-10x+8) & =\ln(3x^2-3x-18)\\
\iff & 2x^2-10x+8 & =3x^2-3x-18\\
\iff & x^2+7x-26 & =0.
\end{array}
\]
Le discriminant de $x^2+7x-26$ est:
\[
\Delta=49+104=153
\]
donc il admet deux racines :
\[
\dfrac{-7-\sqrt{153}}{2}\in\mathcal{D}\qquad\text{et}\qquad\dfrac{-7+\sqrt{153}}{2}\notin\mathcal{D}.
\]
L'ensemble solution de l'équation est donc:
\[
\boxed{\mathcal{S}=\left\{ \dfrac{-7-\sqrt{153}}{2} \right\}}
\]
\end{itemize}

\item $\big[\ln(x)\big]^2-3\ln(x)+2=0$.

\begin{itemize}
\item \textbf{Domaine de définition.}

$\ln(x)$ est défini pour tout réel $x>0$ donc le domaine de d'finition de l'équation est $\mathcal{D}=\intervOO{0}{+\infty}$.


\item \textbf{Résolution.}

Posons $X=\ln(x)$.

L'équation devient:
\[
X^2-3X+2=0
\]
et admet pour solutions:
\[
X=1 \qquad\text{ou}\qquad X=2.
\]
Ainsi,
\[
\ln(x)=1\qquad\text{ou}\qquad \ln(x)=2,
\]
soit:
\[
x=\e\in\mathcal{D} \qquad\text{ou}\qquad x=\e^2\in\mathcal{D}.
\]
L'ensemble solution de l'équation est donc:
\[
\boxed{\mathcal{S}=\big\{\e~;~\e^2\big\}}
\]
\end{itemize}

\item $2\big[\ln(x)\big]^2-5\ln(x)-3=0$.

\begin{itemize}
\item \textbf{Domaine de définition.}

$\ln(x)$ est défini pour tout réel $x>0$ donc le domaine de d'finition de l'équation est $\mathcal{D}=\intervOO{0}{+\infty}$.


\item \textbf{Résolution.}

Posons $X=\ln x$.

L'équation devient:
\[
2X^2-5X-3=0
\]
et admet pour solutions:
\[
X=3\qquad\text{ou}\qquad X=-\dfrac{1}{2}.
\]
Ainsi,
\[
\ln(x)=3\qquad\text{ ou}\qquad \ln(x)=-\dfrac{1}{2},
\]
soit:
\[
x=\e^3\in\mathcal{D}\qquad\text{ ou }\qquad x=\e^{-0,5}\in\mathcal{D}.
\]
L'ensemble solution de l'équation est donc:
\[
\boxed{\mathcal{S}=\big\{\e^3~;~\e^{-0,5}\big\}}
\]
\end{itemize}


\vspace*{2cm}

\item $\ln\big(\sqrt{x}\big) = \sqrt{\ln(x)}$.
\begin{itemize}
\item \textbf{Domaine de définition.}

Il faut que $\begin{cases}
\sqrt{x} > 0\\
\ln(x) \geqslant 0
\end{cases}$, soit $x > 0$ et $x \geqslant 1$.

\medskip

Le domaine de définition est donc: $\mathcal{D}=\intervFO{1}{+\infty}$.

\item \textbf{Résolution.}
\begin{align*}
\ln\big(\sqrt{x}\big) = \sqrt{\ln(x)} & \iff \Big[\ln\big(\sqrt{x}\big)\Big]^2 = \ln(x)\quad\text{ (on a élevé au carré)}\\
& \iff \left[\dfrac{1}{2}\ln(x)\right]^2 = \ln(x)\\
& \iff \dfrac{1}{4}\big[\ln(x)\big]^2 - \ln(x) = 0\\
& \iff \ln(x)\left(\dfrac{1}{4}\ln(x) - 1 \right)=0\\
& \iff \ln(x) = 0 \text{ ou } \dfrac{1}{4}\ln(x) - 1=0\\
& \iff x = 1\text{ ou } \ln(x)=4\\
& \iff x = 1\in\mathcal{D}\text{ ou } x = \e^4\in\mathcal{D}.
\end{align*}

\medskip

L'ensemble solution de l'équation est donc:
\[
\boxed{\mathcal{S}=\big\{1~;~\e^{4}\big\}}
\]
\end{itemize}
\end{enumerate}
